[論文レビュー] Gaussian processes, bridges and membranes extracted from selfsimilar random fields

Maik Görgens, Ingemar Kaj|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ガウス白色ノイズまたはランダムボール白色ノイズによって駆動されるショットノイズ機構を用いて、自己相似性を持つガウス型確率場を新たに構築する。これにより、有界領域上での分数 Browm運動、ブリッジ、膜を明示的に抽出可能となる。主な貢献は、測度に基づくインデキシングとリエス変換の拡張を用いて、所望の自己相似性と境界挙動を有するガウス過程を統一的な枠組みで生成する手法である。

ABSTRACT

We consider the class of selfsimilar Gaussian generalized random fields introduced by Dobrushin in 1979. These fields are indexed by Schwartz functions on $\mathbb{R}^d$ and parametrized by a self-similarity index and the degree of stationarity of their increments. We show that such Gaussian fields arise in explicit form by letting Gaussian white noise, or Gaussian random balls white noise, drive a shift and scale shot-noise mechanism on $\mathbb{R}^d$, covering both isotropic and anisotropic situations. In some cases these fields allow indexing with a wider class of signed measures, and by using families of signed measures parametrized by the points in euclidean space we are able to extract pointwise defined Gaussian processes, such as fractional Brownian motion on $\mathbb{R}^d$. Developing this method further, we construct Gaussian bridges and Gaussian membranes on a finite domain, which vanish on the boundary of the domain.

研究の動機と目的

• R^d 上の自己相似性を持つガウス型一般化確率場を、ショットノイズ機構を用いて一般化する方法の開発。
• リエス変換と符号付き測度を用いて、自己相似性指数 H の範囲を従来の制限を超えて拡張する。
• 分数 Browm運動、ブリッジ、膜などの点ごとの定義されたガウス過程を、これらの場から抽出する。
• ランダムボール白色ノイズを用いた新たな分数 Browm運動の表現を提供する。
• ランダムボールのハードスリービングを用いて、有界領域 D の境界で消えるガウス膜を構築する。

提案手法

• R^d × R_+ 上のガウス白色ノイズ M_d またはランダムボール白色ノイズ W_β によって駆動されるショットノイズ機構を用いて、自己相似性を持つガウス場を構築する。
• t ∈ R^d にインデックス付けられた符号付き測度 μ_t を用いて、基礎となる場 X から点ごとの過程 Y_t = X(μ_t) を抽出する。
• リエス変換 (−Δ)^{-m/2} を適用して、自己相似性指数 H を任意の H ∉ Z (d ≥ 2) または H ∉ ½Z (d = 1) に拡張する。
• 有界領域 D の境界 ∂D に近づくにつれて確率的に 0 に収束する過程 X_t を膜と定義する。
• D に完全に含まれるボール以外を破棄することでランダムボールのハードスリービングを実装し、境界で消える膜を得る。
• τ(ε)^2 に関する共分散解析と極限議論を用いて、抽出された過程の共分散関数の正確な形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H > 0 を満たす自己相似性を持つガウス型場を、一般化確率場を用いたショットノイズ機構から構築可能か？
• RQ2 測度に基づくインデキシングを用いて、自己相似性を持つ確率場から R^d 上の分数 Browm運動を抽出する方法は？
• RQ3 有界領域 D の境界で消えるガウス型ブリッジおよび膜の構造は？
• RQ4 ハードスリービングを施したランダムボールモデルは、境界で消える膜過程をどのように生成するか？
• RQ5 区間 [0,T] 上のハードスリービングブリッジは、マルティンゲール分解を用いて分数 Browm運動と関連づけられるか？

主な発見

• 抽出された過程 T'(s)T'(t) の共分散が、ある定数 c に対して c(|s|^{2H} + |t|^{2H} - |s-t|^{2H}) に等しいことが示され、自己相似性指数 H が確認された。
• d=1 かつ D=(0,T) の場合、ハードスリービングブリッジの共分散は E[W_β(s)W_β(t)] = f_β(s∨t) + f_β(T−s∧t) − f_β(|s−t|) − f_β(T) で与えられ、f_β(x) = 2^β/(β(1−β)) x^{1−β} (0<β<1) である。
• β = −1 のとき、ハードスリービングブリッジは古典的ブラウン運動ブリッジに簡約され、共分散は ½(s∧t)(T−s∨t) となる。
• 0<β<1 のとき、W_β + Y_β（Y_β はボラティリティ √(x^{-β} + (T−x)^{-β}) のストキャスティック積分）の和は、自己相似性指数 H = (1−β)/2 の分数 Browm運動を生成する。
• Y_β は −1<β<0 の範囲で適切に定義され、共分散が C_β(s,t) = s^{1−β} + t^{1−β} − |s−t|^{1−β} に比例する複素ガウス過程を生成する。
• リエス変換による構成により、自己相似性指数 H を Z に属さない任意の値（d≥2）または ½Z に属さない任意の値（d=1）に拡張可能となり、従来のモデルの範囲を著しく拡大する。