[論文レビュー] General constructions of L$_{\infty}$ algebras

Olaf Hohm, Vladislav Kupriyanov+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

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ひとこと要約

この論文は、ヤコビ恒等式を満たさない任意の反対称括弧から L$_\infty$ 代数を構成し、任意の such bracket がヤコビatorを符号化する 3-括弧を備えた 2-term L$_\infty$ 代数に拡張可能であることを示している。さらに、ヤコビatorが理想を定義する線形写像の像に値をとる場合、非自明な 4-括弧を有する 3-term L$_\infty$ 代数が存在することを一般に証明しており、オクタニオン、R-フラックス代数、コルタン代数への応用を含む。

ABSTRACT

We construct L$_{\infty}$ algebras for general `initial data' given by a vector space equipped with an antisymmetric bracket not necessarily satisfying the Jacobi identity. We prove that any such bracket can be extended to a 2-term L$_{\infty}$ algebra on a graded vector space of twice the dimension, with the 3-bracket being related to the Jacobiator. We then prove the significantly more general theorem that if the Jacobiator takes values in the image of any linear map that defines an ideal there is a 3-term L$_{\infty}$ algebra with a generally non-trivial 4-bracket. We discuss special cases such as the commutator algebra of octonions, its contraction to the `R-flux algebra', and the Courant algebroid.

研究の動機と目的

• 初期データとしてヤコビ恒等式を満たさない反対称括弧を備えたベクトル空間から L$_\infty$ 代数を一般化して構成すること。
• ヤコビatorが非ゼロである場合に、その括弧を一貫性のある L$_\infty$ 構造に拡張する課題に取り組むこと。
• ヤコビatorの像に基づいて、非自明な高次括弧を有する 3-term L$_\infty$ 代数の存在に関する一般基準を確立すること。
• オクタニオンの交換子代数、その R-フラックス変形、およびコルタン代数などの物理的・代数的構造へのこの構成の適用を示すこと。

提案手法

• 元の次元の2倍の次元を持つ次数付きベクトル空間に 2-term L$_\infty$ 代数を定義し、3-括弧を初期括弧のヤコビatorから明示的に構成する。
• 理想を定義する線形写像の像をヤコビatorの像の先に設定することで、非自明な 4-括弧を有する 3-term L$_\infty$ 代数への拡張を可能にする。
• ヤコビ恒等式の破綻とヤコビatorの像条件を用いて、高次括弧（3-および 4-項）を再帰的に構成する。
• 高次括弧がホモトピーを介して一般化されたヤコビ恒等式を満たすことを示すことにより、L$_\infty$ 恒等式を検証する。
• 具体的な例（オクタニオンの交換子代数、および縮約による R-フラックス代数）に一般構成を適用する。
• 導来括弧形式論を用いて、得られた L$_\infty$ 構造をコルタン代数などの既知の幾何的対象に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤコビ恒等式を満たさないベクトル空間上の任意の反対称括弧は、一貫性のある L$_\infty$ 代数に拡張可能か？
• RQ2 ヤコビatorにどのような条件が課されると、非自明な 4-括弧を有する 3-term L$_\infty$ 代数が構成可能か？
• RQ3 理想を定義する線形写像の像と L$_\infty$ 代数における高次括弧の存在性の関係は何か？
• RQ4 ヤコビatorは、結果として得られる L$_\infty$ 代数の構造をどのように決定するか？
• RQ5 一般構成は、オクタニオンの交換子代数や R-フラックス代数といった物理的に重要な代数へ適用可能か？

主な発見

• 任意のベクトル空間上の反対称括弧は、次元が2倍の次数付きベクトル空間上に 2-term L$_\infty$ 代数に拡張可能である。
• 2-term 構成における 3-括弧は、初期括弧のヤコビatorによって明示的に決定される。
• ヤコビatorが理想を定義する線形写像の像に値をとる場合、非自明な 4-括弧を有する 3-term L$_\infty$ 代数が存在する。
• ヤコビatorが恒等的にゼロでなく、指定された像に値をとる場合、非自明な 4-括弧が得られる。
• この方法は、オクタニオンの交換子代数に適用され、非自明な高次括弧を有する 3-term L$_\infty$ 代数を生成する。
• R-フラックス代数は、オクタニオン L$_\infty$ 構造の縮約として得られ、その一貫性ある L$_\infty$ 形式化が確認される。