[論文レビュー] General form of the covariant field equations of arbitrary spin and the relativistic canonical quantum mechanics

В. М. Симулик|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2015

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 105被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意スピン粒子およびその反粒子のための一般化された公理的形式化である相対論的正準量子力学（RCQM）を提示し、一般化された平方根作用素形式を用いて明示的に共変な場の運動方程式を導出する。新たに64次元の実数上のクリフォード・ディラック代数を導入し、RCQMが最もきめ細やかな量子力学的記述を提供することを確立する。正準理論および共変場理論への段階的移行は、量子力学的明確性を損なうことを示す。

ABSTRACT

The investigation of arXiv 1409.2766v2 [quant-ph] has been continued by the general form of the numerous equations with partial values of arbitrary spin, which were considered in above mentioned preprint. The general forms of quantum-mechanical and covariant equations for arbitrary spin together with the general description of the arbitrary spin field formalism are presented. The corresponding relativistic quantum mechanics of arbitrary spin is given as the system of axioms. Previously ignored partial example of the spin s=(0,0) particle-antiparticle doublet is considered. The partial example of spin s=(3/2,3/2) particle-antiparticle doublet is highlighted. The new 64 dimensional Clifford--Dirac algebra over the field of real numbers is suggested. The general operator, which transformed the relativistic canonical quantum mechanics of arbitrary spin into the locally covariant field theory, has been introduced. Moreover, the study of the place of the results given in arXiv 1409.2766v2 [quant-ph] among the results of other authors is started. The review of the different investigations in the area of relativistic canonical quantum mechanics is given and the brief analysis of the existing approaches to the covariant field theory of arbitrary spin is initiated. The consideration of some important details of arXiv 1409.2766v2 [quant-ph] is improved.

研究の動機と目的

• 従来の部分的ケースにとどまらず、以前に無視されていたスピン s=(0,0) および s=(3/2,3/2) ダブルレットを含む、任意スピンに対する相対論的正準量子力学（RCQM）の一般化を図ること。
• 非相対論的量子力学との整合性を保ちつつ、明確な量子力学的解釈を維持できるように、RCQMの体系的で公理的な枠組みを確立すること。
• 一般化された平方根作用素と新規64次元実数上クリフォード・ディラック代数を用いて、RCQMから任意スピンの明示的共変場の運動方程式を導出すること。
• RCQM、正準場理論、局所的に共変な場理論の三つのモデルの階層を明確にし、各移行段階で量子力学的明確性が低下することを示すこと。
• 既存の相対論的量子力学および場の理論のアプローチの広範な文脈の中で本研究の位置づけを提示し、主要な貢献をレビューするとともに、未解決のギャップを特定すること。

提案手法

• 正準的Poincaré群表現に基づく公理系としてRCQMを定式化し、共変でないが相対論的に不変な生成子を用いる。
• 任意スピン粒子の力学を記述するため、ディラック型形式をスピン1/2を超えて拡張した一般化された平方根作用素方程式を適用する。
• 高スピン表現を扱い、代数的構造の閉じる性質を保証するため、実数上に64次元の新規クリフォード・ディラック代数を導入する。
• 一般化されたフォルディ＝ウーストゥイゼン型変換を用いてRCQMから明示的に共変な場の運動方程式を導出し、スピンおよび統計の物理的解釈を保持する。
• 非共変（正準的）および共変な両方のPoincaré代数を用いて相対論的不変性を検証し、非共変な対象（例：d³x、非共変Poincaré生成子）がディラック型作用素作用素と可換でかつPoincaré代数を満たす限り、相対論的不変性を損なわないことを示す。
• 新規の8成分方程式（s=3/2）を標準の16成分Rarita–Schwinger方程式と比較し、前者が補助的条件を必要としないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的正準量子力学（RCQM）を、これまで無視されてきたs=(0,0) や s=(3/2,3/2) のケースを含む任意スピンに一般化する方法は何か？
• RQ2 平方根作用素は、任意スピンの明示的共変場理論を構築する上で果たす役割は何か？また、異なるスピン記述を統合する仕組みは何か？
• RQ3 RCQMから正準場理論、そして共変場理論への移行が、なぜ量子力学的明確性を損なうのか？
• RQ4 新規に提案された64次元実数上クリフォード・ディラック代数は、任意スピン場の記述をどのように支援し、代数的整合性を保証するのか？
• RQ5 標準の16成分Rarita–Schwinger方程式と比較して、s=3/2の8成分方程式の意義は何か？物理的解釈の観点からなぜ優れているのか？

主な発見

• 任意スピンの相対論的正準量子力学（RCQM）は、最も基本的で物理的に解釈可能な枠組みとして確立され、最も明確な量子力学的意味を持つ。
• 新規に導入された64次元実数上クリフォード・ディラック代数は、任意スピン場理論のための一貫した数学的構造を提供し、明示的共変方程式の構築を可能にする。
• s=3/2の8成分方程式は、s=1/2のディラック方程式の直接的な類似物であり、補助的制約が不要である。Rarita–Schwinger方程式とは異なり、この性質を有する。
• RCQMから共変場方程式を合成する方法は、s=1/2のRCQMからディラック方程式を導出するのと完全に類似しており、本手法の整合性と一般性を裏付ける。
• 非共変生成子（例：d³x、非共変Poincaré生成子）がディラック型作用素作用素と可換でかつPoincaré代数を満たす限り、相対論的不変性を破らない。
• 導出された方程式にはフェルミ・ボーズ双対性および三重性（triad）の性質が観察され、任意スピン場理論の背後にあるより深い代数的構造の存在を示唆する。