[論文レビュー] General Geometry and Geometry of Electromagnetism

Shervgi S. Shahverdiyev|arXiv (Cornell University)|May 22, 2002

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、電磁気を記述するためにリーマン幾何を拡張する新しい幾何的枠組みである一般幾何（General Geometry）を提案する。電磁場が非リーマン的幾何における曲率関数から生じることを示し、マクスウェル方程式とローレンツ力の法則が幾何的原理から自然に導かれることを示し、荷電粒子の運動と場の作用を一つの幾何的構造で統一的に記述する。

ABSTRACT

It is shown that Electromagnetism creates geometry different from Riemannian geometry. General geometry including Riemannian geometry as a special case is constructed. It is proven that the most simplest special case of General Geometry is geometry underlying Electromagnetism. Action for electromagnetic field and Maxwell equations are derived from curvature function of geometry underlying Electromagnetism. And it is shown that equation of motion for a particle interacting with electromagnetic field coincides exactly with equation for geodesics of geometry underlying Electromagnetism.

研究の動機と目的

• リーマン幾何の中で電磁気を幾何化するという長年の問題を解決すること。これは、根本的な不適合性のため、これまで失敗してきた。
• リーマン幾何を特別な場合として含む一般化された幾何的枠組み「一般幾何」を構築すること。この枠組みは、電磁気から生じる非リーマン的構造を扱えるようにする。
• 電磁場中における荷電粒子の運動方程式が、電磁気の背後にある幾何における測地線方程式と完全に一致することを示すこと。
• この新しい幾何的構造の曲率関数から、電磁気作用関数とマクスウェル方程式を導出すること。
• 物理的場の性質を、背後にある幾何の数学的性質と結びつける幾何的基盤を確立し、すべての基本的相互作用を統一する道筋を示すこと。

提案手法

• 位置 $x$ と速度 $x_u$ に依存する一般化された計量テンソル $^{A}g_{\nu\beta}$ を導入し、非局所的かつリーマン幾何と不適合であることを示す。
• 一般作用 $S = \frac{1}{2} \int du \, \mathbf{g}_{\mu\nu}(x,x_u) x^\mu_u x^\nu_u$ から測地線方程式を導出し、接続 $\Gamma_{\lambda,\mu\nu}$ とインデックス操作に用いる計量に類似したテンソル $G_{\lambda\nu}$ を得る。
• 曲率関数 $R_\lambda$ を幾何的源として定義し、$R_\lambda = \partial_\mu F^\mu_\lambda$ を満たすことを示し、$R_\lambda = 0$ のときマクスウェル方程式が得られることを示す。
• 電磁気的ラグランジアンを $R = A^\lambda R_\lambda = \partial_\mu(A^\lambda F^\mu_\lambda) - \frac{1}{2}F_{\mu\lambda}F^{\mu\lambda}$ として構成し、標準形とは全微分の違いのみであることを示す。
• 電磁気の背後にある幾何における曲線の長さが $ds = \sqrt{\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu} + \frac{q}{cm}A_\mu dx^\mu$ で与えられることを示し、この幾何が粒子の電荷と質量に依存することを示す。
• 電磁気と重力を統合する幾何を、両者の曲率関数を組み合わせることで提案。ヒッグス粒子を必要としない幾何的統一が可能であると示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電磁気はリーマン幾何の枠組みの中で一貫して幾何化可能か？
• RQ2 電磁場中における荷電粒子の運動の背後にある幾何的構造は何か。その構造において、粒子の運動方程式が測地線方程式と完全に一致するように設計されている。
• RQ3 電磁気作用関数とマクスウェル方程式は、純粋に幾何的曲率関数から導出可能か？
• RQ4 電磁気の幾何は、局所性や座標不変性の観点から、リーマン幾何とどのように根本的に異なるか？
• RQ5 重力と電磁気的相互作用を、一つの曲率に基づく形式の特別な場合として含む統一的幾何的枠組みを構築可能か？

主な発見

• 電磁気はリーマン幾何の中で幾何化できない。有効計量 $^{A}g_{\mu\nu}$ が速度 $x_u$ に依存する非局所的性質を持つため、リーマン的構造が要求する局所性を満たさない。
• 電磁気の背後にある幾何の曲率関数 $R_\lambda$ は $R_\lambda = \partial_\mu F^\mu_\lambda$ を満たし、$R_\lambda = 0$ とすると同次マクスウェル方程式が得られる。
• 電磁場中における荷電粒子の運動方程式は、$ds = \sqrt{\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu} + \frac{q}{cm}A_\mu dx^\mu$ で定義される幾何における測地線方程式と完全に一致する。
• 電磁気的ラグランジアン $\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\lambda}F^{\mu\lambda}$ は、スカラー曲率関数 $R = A^\lambda R_\lambda$ から得られ、全微分の違いを除いて標準形と一致する。
• 電磁気の背後にある幾何は、粒子の電荷 $q$ と質量 $m$ に依存するが、リーマン幾何とは異なり、場の源にのみ依存するのではなく、相互作用に依存することを示唆している。これは、幾何が物質そのものではなく、相互作用によって決定されることを示している。
• 本稿では、重力と電磁気の両者の曲率関数を組み合わせることで、統一幾何を構築可能であると示唆しており、ヒッグス粒子を必要としない基本的相互作用の統一が可能である可能性を示している。