[論文レビュー] General Linear Quadratic Optimal Stochastic Control Problem Driven by a Brownian Motion and a Poisson Random Martingale Measure with Random Coefficients

Qingxin Meng|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動およびポアソン確率測度付きマルティングルール測度によって駆動される、ジャンプを伴う多次元後向きストキャスティックリッカティ微分方程式（BSRDEJ）の解の存在および一意性を、確率的係数のもとで確立する。また、一般の線形・二次の確率的制御問題における最適制御が、BSRDEJの解を用いて状態フィードバック形式に表現可能であることを証明する。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to discuss detailed the stochastic LQ control problem with random coefficients where the linear system is a multidimensional stochastic differential equation driven by a multidimensional Brownian motion and a Poisson random martingale measure. In the paper, we will establish the connections of the multidimensional Backward stochastic Riccati equation with jumps (BSRDEJ in short form) to the stochastic LQ problem and to the associated Hamilton systems. By the connections, we show the optimal control have the state feedback representation. Moreover, we will show the existence and uniqueness result of the multidimensional BSRDEJ for the case where the generator is bounded linear dependence with respect to the unknowns martingale term.

研究の動機と目的

• 線形・二次（LQ）確率的制御におけるジャンプ付き後向きストキャスティックリッカティ微分方程式（BSRDEJ）の解を求めるという、長年の未解決問題に取り組む。
• LQ問題に関連するBSRDEJと確率的ハミルトニアン系との間の関係を確立する。
• 一般の確率的係数条件のもとで、最適制御が状態フィードバック形式に表現可能であることを証明する。
• 生成子がマルティングルール項LおよびHに関して有界な線形依存性を示す場合に、BSRDEJの解の存在および一意性を示す。
• 古典的なLQ制御理論を、確率的係数を伴うジャンプ・ドリフト過程への応用へと拡張し、高度なBSDE技術を用いる。

提案手法

• 多次元ブラウン運動およびポアソン確率測度付きマルティングルール測度によって駆動される一般の線形・二次最適確率的制御問題を定式化する。
• 未知数K、L、Hに関して非常に非線形である、関連するジャンプ付き後向きストキャスティックリッカティ微分方程式（BSRDEJ）を導出する。
• 固定点法および収縮写像原理を用いて、マルティングルール項に関して有界な線形依存性を示す条件下で、BSRDEJの解の存在および一意性を証明する。
• 伊藤＝ヴェンツェルの公式および収束定理を用いて、L²およびL²(ν)空間における近似列の極限挙動を分析する。
• リッカティ方程式を通じて、BSRDEJと確率的ハミルトニアン系との関係を確立する。
• リーマンの収束定理およびグロワールド型推定を用いて、反復列の収束が解へと至ることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子がマルティングルール項に関して有界な線形依存性を示す場合、確率的係数を伴うジャンプ付き後向きストキャスティックリッカティ微分方程式（BSRDEJ）は一意な解をもつか。
• RQ2 確率的係数を伴う一般の線形・二次確率的制御問題における最適制御は、状態フィードバック形式に表現可能か。
• RQ3 ジャンプ・ドリフト過程の文脈において、BSRDEJと確率的ハミルトニアン系との関係は何か。
• RQ4 一般の確率的係数仮定のもとで、BSRDEJの解の存在および一意性はどのように確立できるか。
• RQ5 ポアソン確率測度付きマルティングルール測度は、リッカティ方程式およびフィードバック制御則の構造において果たす役割は何か。

主な発見

• 生成子がマルティングルール項LおよびHに関して有界な線形依存性を示す条件下で、ブラウン運動およびポアソン確率測度付きマルティングルール測度によって駆動される多次元BSRDEJの解は存在し、かつ一意である。
• 確率的係数を伴う一般の線形・二次確率的制御問題における最適制御は、BSRDEJの解を用いて状態フィードバック形式に表現可能である。
• 近似列{K_j}が解KへとL^q（すべてのq > 0）において収束する。また、マルティングルール項に関して、L²およびL²(ν)ノルムの両方で収束が成立する。
• 二つのBSRDEJの解の差がほとんど確実に非負であることが示され、比較論法により一意性が保証される。
• 証明は収縮写像法に依拠し、連続的な近似の差の成長を制御するためのグロワールド型不等式の応用が含まれる。
• 結果は、古典的なLQ制御理論を、確率的係数を伴うジャンプ・ドリフト過程への応用へと一般化し、決定的かつジャンプなしのケースに関する先行研究を拡張する。