[論文レビュー] General $N$-solitons and their dynamics in several nonlocal nonlinear Schrödinger equations

Jianke Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 28被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、AKNS階層に適用された統一されたリーマン＝ヒルベルト枠組みを用いて、逆空間、逆時刻、逆空間時刻の3つの非局所的非線形シュレーディンガー方程式の一般化されたNソリトン解を導出する。主な貢献は、スペクトル平面における新たな固有値配置の同定であり、これは非線形重ね合わせに相当しない新しいソリトン構造を示し、繰り返し崩壊するダイナミクスを示す。逆空間時刻方程式は、2ソリトン解が真の非線形重ね合わせとして振る舞う唯一のものである。

ABSTRACT

General $N$-solitons in three recently-proposed nonlocal nonlinear Schrödinger equations are presented. These nonlocal equations include the reverse-space, reverse-time, and reverse-space-time nonlinear Schrödinger equations, which are nonlocal reductions of the Ablowitz-Kaup-Newell-Segur (AKNS) hierarchy. It is shown that general $N$-solitons in these different equations can be derived from the same Riemann-Hilbert solutions of the AKNS hierarchy, except that symmetry relations on the scattering data are different for these equations. This Riemann-Hilbert framework allows us to identify new types of solitons with novel eigenvalue configurations in the spectral plane. Dynamics of $N$-solitons in these equations is also explored. In all the three nonlocal equations, a generic feature of their solutions is repeated collapsing. In addition, multi-solitons can behave very differently from fundamental solitons and may not correspond to a nonlinear superposition of fundamental solitons.

研究の動機と目的

• 逆空間、逆時刻、逆空間時刻の非局所的NLS方程式における一般化されたNソリトン解を導出すること。これらの方程式には、これまで正確なマルチソリトン解が存在しなかった。
• これらの非局所的方程式が古典的局所的NLS方程式と異なる散乱データにおける対称性関係の役割を明確にすること。
• 以前の研究ではこのような解が得られなかったにもかかわらず、これらの非局所的方程式におけるマルチソリトンが基本ソリトンの非線形重ね合わせを表すかどうかを調査すること。
• 特に非局所的設定において、リーマン＝ヒルベルト枠組み内で上半平面と下半平面における固有値数が不等しいという未解決の問題を解消すること。
• Nソリトンのダイナミクス的挙動、特にすべての3つの非局所的NLS方程式に共通する繰り返し崩壊現象を調査すること。

提案手法

• AKNS階層にリーマン＝ヒルベルト問題を適用し、特定の対称性制約を満たす散乱データからNソリトン解を構成する。
• 散乱データに異なる対称性関係（具体的には、r(x,t) = -q*(−x,t)、r(x,t) = -q(x,−t)、r(x,t) = -q(−x,−t)）を課すことにより、逆空間、逆時刻、逆空間時刻NLS方程式を生成する。
• 複素スペクトル平面における固有値配置を分析し、ℂ₊とℂ₋に存在する固有値が共役対でない、または均等に分布しない場合の新たなソリトン構造を同定する。
• 非局所的対称性のおかげで、上半平面と下半平面における固有値数が不等である場合でも、逆散乱変換を非局所的設定に拡張可能である。
• 数値シミュレーションを用いて、解のダイナミクス、特に固有値配置と時間発展するソリトンプロファイルを可視化し、マルチソリトンと基本ソリトンを比較する。
• 非標準的な対称性条件を満たすリーマン＝ヒルベルト問題を解くことで、この枠組みは正確なNソリトン解を導出可能であり、新たなソリトン型を生み出す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統一されたリーマン＝ヒルベルトアプローチを用いて、逆空間、逆時刻、逆空間時刻の非局所的NLS方程式に対して一般化されたNソリトン解を導出可能か？
• RQ2 これらの非局所的NLS方程式の散乱データにおける対称性関係は、古典的局所的NLS方程式とはどのように異なるか？
• RQ3 これらの非局所的NLS方程式におけるマルチソリトンは、基本ソリトンの非線形重ね合わせを表すのか、それとも根本的に異なるダイナミクスを示すのか？
• RQ4 非局所的NLS方程式のリーマン＝ヒルベルト問題において、上半平面と下半平面における固有値数が不等である場合、何が生じるか？
• RQ5 なぜ非局所的NLS方程式におけるマルチソリトンは繰り返し崩壊を示すのか？また、これは局所的NLS方程式のソリトンとどのように異なるか？

主な発見

• 逆空間、逆時刻、逆空間時刻NLS方程式の一般化されたNソリトン解は、すべて同じAKNS階層のリーマン＝ヒルベルト枠組みから導出可能であり、差異は散乱データにおける異なる対称性条件に起因する。
• 逆空間時刻NLS方程式は、2ソリトン解が2つの基本ソリトンの非線形重ね合わせに一致する唯一のものであり、固有値配置と解プロファイルから確認された。
• 逆空間および逆時刻NLS方程式におけるマルチソリトンは、基本ソリトンの非線形重ね合わせとして振る舞わず、局所的NLS方程式では観察されない特異的かつ新規な解パターンを示す。
• 繰り返し崩壊は、すべての3つの非局所的NLS方程式において一般的な特徴であり、時間とともに振幅と波形プロファイルが動的に変化する。
• リーマン＝ヒルベルト枠組みでは、ℂ₊とℂ₋における固有値数が不等であることを許容でき、固有値が対称的に分布していない場合（例：ℂ₊に純虚数固有値の1組のみ）には、解が有界でなくなる。
• 両方の固有値がiℝ₊に存在する基本ソリトンは空間的に有界でないため、真のソリトンではなく、不等な固有値数が非ソリトン的で発散する解を生み出す可能性があることを示している。