[論文レビュー] General Relativistic Theory of Light Propagation in the Field of Radiative Gravitational Multipoles

Sergei M. Kopeikin, Pavel Korobkov|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2005

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、連星系などのコンパクトな連星系から生じる放射性 multipole モーメントによって生成される重力場における光の伝播を一般相対性理論的に扱うフレームワークを構築する。平面波近似下で、時間遅れ、光の屈折、偏光の回転（Skrotskii 効果）の正確な式を、任意の次数の質量および運動量 multipoles を含めて導出しており、主な結果として、計量摂動の横方向トレースレス（TT）成分にどのようにこれらの効果が依存するかを示している。

ABSTRACT

The extremely high precision of current astronomical observations demands a much better theoretical treatment of relativistic effects in the propagation of electromagnetic signals through variable gravitational fields of isolated astronomical systems emitting gravitational waves. This paper presents a consistent approach giving a complete and exhaustive solution of this problem in the first post-Minkowskian approximation of general relativity.

研究の動機と目的

• 放射性重力多極モーメントによって摂動された時空における光の伝播を、後ニュートン近似を越えて一般相対性理論的に記述すること。
• 非対称的かつ動的な時空において、光に及ぼされる重力的効果を記述するのに限界を示すパラメータ化された後ニュートン形式（PPN）の問題点を解決すること。
• 任意の多極モーメントを持つ放射的孤立系が生成する曲がった時空における電磁波伝播を一貫的かつ共変的に記述すること。
• 平面波近似下で、相対論的観測量（時間遅れ、天体測位的屈折、偏光回転）の明示的表現を導出すること。
• 将来の重力波天文学者が、重力波検出器や天体観測（例：パulsar 時計、CMB 偏光）における光の伝播を正確にモデル化できるようにすること。

提案手法

• Einstein の場の方程式と曲がった背景上の Maxwell 方程式を用いて、放射性重力多極モーメントによって摂動された計量における光線の光的測地線（null geodesic）方程式を導出する。
• 幾何光学近似を適用し、光が摂動計量テンソル $ h_{ij} $ の光的測地線に沿って伝播すると仮定する。ここで $ h_{ij} $ は質量および運動量多極モーメントで表される。
• 遅延時間展開を用いて、計量摂動を $ F(t - r) $ の形に表現し、高次多極寄与の再帰的関係式を導出する。
• 時間遅れや偏光回転といった観測可能な効果に不可欠な、計量摂動 $ h_{ij} $ の横方向トレースレス（TT）成分 $ h_{ij}^{TT} $ を抽出する。
• 平面波近似下で、時間遅れ $ riangle $、天体測位的方向 $ s^i $、偏光回転 $ riangle heta $ の漸近的表現を導出し、$ ilde{ ho}^2 $、$ ilde{ ho}_0^2 $、$ ilde{ ho}_ u^2 $ 項を無視する。
• 時間遅れの完全な再構成を、質量多極モーメント $ riangle_M $ と運動量多極モーメント $ riangle_S $ の寄与の和として行い、$ h_{ij}^{TT} $、$ k^i $、$ N^i $ に明示的な依存関係を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放射性重力源の任意の次数の質量および運動量多極モーメントが、真空中の光の伝播にどのように影響を与えるか。
• RQ2 平面波近似下で、重力波による時間遅れ、光の屈折、偏光回転に対する正確な相対論的補正は何か。
• RQ3 パラメータ化された後ニュートン形式（PPN）が、非ゼロの多極モーメントを持つ非対称的かつ動的な時空における光の伝播を記述できないことはどのように示せるか。
• RQ4 計量摂動の横方向トレースレス（TT）成分が、光信号に及ぼす観測可能な効果を決定づける役割は何か。
• RQ5 時間遅れおよび偏光回転の導出式が、放射系の波領域で $ R \to 0 $ の極限において、既知の結果（例：干渉型重力波検出器の標準的結果）にどのように還元されるか。

主な発見

• 時間遅れ $ \triangle $ は、質量多極モーメント $ \triangle_M $ と運動量多極モーメント $ \triangle_S $ の寄与の和として表され、$ \triangle_M $ は $ \frac{1}{r} $ に比例し、$ \triangle_S $ は $ \frac{1}{r} - \frac{1}{r_0} $ を含むため、観測者-源の幾何的配置に方向依存性を示す。
• 光の天体測位的方向 $ s^i $ は、$ \frac{1}{2} \frac{k_p k_q}{1 - \text{cos}\theta} [ (\text{cos}\theta - 2) k^i + N^i ] h_{pq}^{TT} $ で補正され、伝播方向 $ k^i $ と源への単位ベクトル $ N^i $ の両方を含む。
• 偏光回転（Skrotskii 効果）は $ \triangle\theta = \frac{1}{2} \frac{(\bm{k} \times \bm{N})^i k^j}{1 - \bm{k} \bullet \bm{N}} h_{ij}^{TT}(t, \bm{x}) - \frac{1}{2} \frac{(\bm{k} \times \bm{N}_0)^i k^j}{1 - \bm{k} \bullet \bm{N}_0} h_{ij}^{TT}(t_0, \bm{x}_0) $ で与えられ、周波数および方向に依存する偏光面の回転を示す。
• $ R \to 0 $（波領域）の極限では、時間遅れは $ \frac{\triangle R}{R} = \frac{1}{2} k_{ij} h_{ij}^{TT}(t, \bm{x}) + O(\tilde{\rho}^2) + O(R/\tilde{\rho}) $ に簡略化され、干渉型重力波検出器における標準的結果が回復される。
• この形式は任意の次数 $ l \to \forall $ の多極モーメントを含み、従来の質量四極モーメントやスピンダイポール近似に限られた結果を拡張している。
• 導出は一般相対性理論と整合しており、特に非共変な PPN 形式の落とし穴を避けており、光の伝播における重力的効果と電磁的効果の区別が明確にできる。