[論文レビュー] General relativity from $p$-adic strings

An Huang, Bogdan A. Stoica+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2019

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ひとこと要約

本稿では、曲がった標的時空におけるp進弦作用を提案し、量子p進弦の世界殻スケーリング対称性が、アーチメデス的ケースに類似した真空アインシュタイン方程式を導くことを示している。p進弦の平面波モードとして、PGL(2, Qp)の非分岐主系列表現の球対称関数を同定し、一連の図式が一意な正規化特性により簡略化されることを示している。主な結果として、アーディック弦スペクトルとリーマンゼータ関数の非自明な零点との間の関係が得られている。

ABSTRACT

For an arbitrary prime number $p$, we propose an action for bosonic $p$-adic strings in curved target spacetime, and show that the vacuum Einstein equations of the target are a consequence of worldsheet scaling symmetry of the quantum $p$-adic strings, similar to the ordinary bosonic strings case. It turns out that certain $p$-adic automorphic forms are the plane wave modes of the bosonic fields on $p$-adic strings, and that the regularized normalization of these modes on the $p$-adic worldsheet presents peculiar features which reduce part of the computations to familiar setups in quantum field theory, while also exhibiting some new features that make loop diagrams much simpler. Assuming a certain product relation, we also observe that the adelic spectrum of the bosonic string corresponds to the nontrivial zeros of the Riemann Zeta function.

研究の動機と目的

• 標的時空における真空アインシュタイン方程式が、量子p進弦の世界殻スケーリング対称性から生じることを確立すること。
• 距離二乗形式を用いて、Zabrodinのp進弦作用を曲がった標的時空へ一般化すること。
• PGL(2, Qp)の非分岐主系列表現の球対称関数が、p進世界殻上での平面波モードとして果たす役割を分析すること。
• p進弦理論におけるループ図が、一意な正規化および正則化特性により簡略化されることを示すこと。
• 積関係の仮定の下で、ボソン弦のアーディックスペクトルとリーマンゼータ関数の非自明な零点との関係を調査すること。

提案手法

• Zabrodin作用を曲がった標的時空へ一般化した新しいp進弦作用 S = Σ⟨ij⟩∈E(Tp) d²(Xi,Xj)/a²⟨ij⟩ を提案する。
• ブルハット＝ティーズ木 Tp 上の運動量固有関数を、PGL(2, Qp)の非分岐主系列表現の球対称関数として同定する。
• 木上の幾何的級数の解析的正則化を用い、ζ関数正則化を含む発散級数（例：∑1 = ζ(0) = −1/2）を扱う。
• 世界殻スケーリング対称性を適用し、真空アインシュタイン方程式を強制する1ループ条件を導出する。
• p進世界殻経路積分を用いて、木レベルおよび1ループ2点関数を、モードの正確な正規化を伴って計算する。
• 定義8における正則化を用いて、2点関数への実数直線寄与が消えることを示し、p進優位性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった標的時空における量子p進弦の世界殻スケーリング対称性は、真空アインシュタイン方程式を導くか？
• RQ2 PGL(2, Qp)の非分岐主系列表現の球対称関数は、p進世界殻上での平面波モードとしてどのように機能するか？
• RQ3 正則化はp進弦モードの正規化において果たす役割は何か？また、それがループ計算をどのように簡略化するか？
• RQ4 積関係の仮定の下で、ボソン弦のアーディックスペクトルはリーマンゼータ関数の非自明な零点と関係づけられるか？
• RQ5 提案された正則化スキームの下で、2点関数経路積分における実数直線寄与がなぜ消えるのか？

主な発見

• 標的時空における真空アインシュタイン方程式が、量子p進弦の世界殻スケーリング対称性から生じ、アーチメデス的ケースに類似している。
• PGL(2, Qp)の非分岐主系列表現の球対称関数が、p進弦場理論の平面波モードとして同定された。
• p進世界殻上のモード正規化の正則化が、ループ図の簡略化をもたらし、標準QFTと比較して複雑性が低下する。
• スケーリング対称性条件の下で、2点関数の1ループ補正が消えるため、メトリックの走化がなく、したがってアインシュタイン方程式が成立する。
• 積関係の仮定の下で、ボソン弦のアーディックスペクトルはリーマンゼータ関数の非自明な零点に対応する。
• 提案された正則化の下で、2点関数経路積分への実数直線寄与がキャンセルされ、p進優位性が保証される。