[論文レビュー] General Relativity à la string: a progress report

T. Regge, Claudio Teitelboim|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2016

Relativity and Gravitational Theory被引用数 21

ひとこと要約

本論文は、一般相対性理論を高次元多様体（例えば R¹⁰）における時空埋め込み変数を用いて標準形式化する手法を提案する。埋め込み関数を計量の代わりに基本場として扱う。この手法は弦モデルの形式と類似させることを目的としているが、主な障害は依然として『正規変形の生成子』（「第四制約」）が閉じた形で書けないことである。これにより、弦理論や標準的重力理論との構造的類似性は明るいが、理論は未だ完全でない。

ABSTRACT

Preliminary results on a canonical formulation of general relativity based on an analogy with the string model of elementary particles are presented. Rather than the metric components, the basic fields of the formalism are taken to be the functions describing the embedding of four dimensional spacetime in a ten or possibly higher dimensional manifold. So far, the main drawback of the formalism is that the generator of normal deformations ("fourth constraint") cannot be written down in closed form. The present approach is compared and contrasted with the usual one and with the canonical description of the relativistic string.

研究の動機と目的

• 埋め込み座標を基本変数として用いることで、相対論的弦モデルの構造を模倣する一般相対性理論の標準形式化を開発すること。
• 特にゲージ固定の実装や一貫した量子理論の構築の困難さに起因する、従来の ADM 形式の限界を克服すること。
• 4次元時空を高次元多様体（例えば R¹⁰）に埋め込むことで、重力の新たな、より取り扱いやすい標準的枠組みが得られるかを検討すること。
• 埋め込み形式から導かれる制約、特に正規変形制約が第一級であるかどうかを評価し、アインシュタイン方程式と整合することを確認すること。
• この埋め込みに基づく形式化において、弦理論の DDF 演算子に類似した新しい種類の演算子を構成できるかを調査すること。

提案手法

• 4次元時空を座標関数 $ y^A(x^ u) $ を用いて10次元以上の多様体に埋め込む高次元埋め込み形式を採用し、これらを基本的な力学変数として扱う。
• ヒルベルト作用から出発し、時空計量と曲率を埋め込み関数およびその一次および二次微分で表現することで、標準的構造を導出する。
• 埋め込み幾何から導かれる制約 $ ilde{ ho}_ u $ と $ G_{oteta} $ を導入し、$ G_{oteta} $ がハミルトニアンおよび運動量制約の役割を果たす。
• 正規変形制約 $ ilde{ ho}_ot $ を共役運動量 $ ilde{ ho}^A $ と、誘導計量および埋め込み微分から構成される行列 $ M_{AB} $ を用いて表現を試みる。
• 行列 $ M_{AB} $ を、空間勾配 $ ilde{y}_{,i} $ に直交する部分空間に制限された $ W_{AB} $ の逆行列として定義し、制約を閉じた形で表現する可能性を検討する。
• 8つの制約（$ G_{oteta} $ から4つ、$ ilde{ ho}_i $ から4つ）のポisson括弧の閉じ性を解析し、それが第一級であるかどうかを判定することで、理論の整合性とアインシュタイン方程式との同等性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論は、弦モデルの手法に類似した高次元空間における埋め込み座標を用いて、標準形式に再定式化可能か？
• RQ2 正規変形の生成子（「第四制約」）がなぜまだ閉じた形で表現できないのか。完全な標準形式化が阻まれる要因は何か？
• RQ3 埋め込み形式から導かれる制約、特に $ G_{otot} $、$ G_{ot i} $、$ ilde{ ho}_ot $、$ ilde{ ho}_i $ が第一級であるか。その閉じ性が理論の整合性に与える意味は何か？
• RQ4 埋め込み幾何から導かれる行列 $ M_{AB} $ を用いて、ハミルトニアン制約の閉じた形の表現を構成できるか？
• RQ5 弦理論における DDF 演算子と、この埋め込みに基づく重力形式に類似した新しい種類の演算子の間には、構造的類似性があるか？

主な発見

• 形式は埋め込み関数 $ y^A $ 及びその共役運動量を用いて一般相対性理論を再表現でき、空間計量と曲率がこれらの変数から導出可能である。
• 制約 $ ilde{ ho}_i \to 0 $ と $ G_{oteta} \to 0 $ は埋め込み幾何から導かれるが、$ G_{oteta} $ はハミルトニアンおよび運動量制約の役割を果たす。
• 正規変形制約 $ ilde{ ho}_ot $ は $ \tilde{\rho}_\bot \to g^{1/2} \big( (M^2)_{AB} \tilde{\rho}^A \tilde{\rho}^B + 1 \big) \to 0 $ として表現され、ここで $ M_{AB} $ は $ \tilde{y}_{,i} $ に直交する部分空間に制限された $ W_{AB} $ の逆行列である。
• 行列 $ M_{AB $ は対称的であり、埋め込み関数およびその一次および二次微分から構成されるが、$ \tilde{y}_{,i} $ に沿った零空間が存在するため、全空間上で逆行列が存在しないことが導出を複雑にする。
• 8つの制約（(35a)–(35d)）は形式的に閉じているが、$ M_{AB} $ の構造が十分に分かっていないため、第一級であるかどうかは未だ証明されていない。
• 制約が第一級であれば、理論は整合的でありアインシュタイン方程式と同等であるが、そうでなければ物理的自由度を削減するのではなく、単にゲージを固定するにとどまる可能性がある。