[論文レビュー] General Resolvents for Monotone Operators: Characterization and Extension

Heinz H. Bauschke, Xianfu Wang+1 more|ArXiv.org|Oct 21, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 32被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、反射的バナッハ空間における単調作用素の一般化されたフレームワークを、単調作用素 $ F $ を用いて導入し、$ F $-非拡大的非拡大写像が最大単調作用素の $ F $-解像作用素であることを証明している。主な貢献は、古典的、双対性に基づく、およびブレグマン解像作用素を含む統一的特徴付けであり、一般化された非拡大的非拡大写像に対する構成的キルツブラウン＝バレンタイン拡張も得られている。

ABSTRACT

Monotone operators, especially in the form of subdifferential operators, are of basic importance in optimization. It is well known since Minty, Rockafellar, and Bertsekas-Eckstein that in Hilbert space, monotone operators can be understood and analyzed from the alternative viewpoint of firmly nonexpansive mappings, which were found to be precisely the resolvents of monotone operators. For example, the proximal mappings in the sense of Moreau are precisely the resolvents of subdifferential operators. More general notions of "resolvent", "proximal mapping" and "firmly nonexpansive" have been studied. One important class, popularized chiefly by Alber and by Kohsaka and Takahashi, is based on the normalized duality mapping. Furthermore, Censor and Lent pioneered the use of the gradient of a well behaved convex functions in a Bregman-distance based framework. It is known that resolvents are firmly nonexpansive, but the converse has been an open problem for the latter framework. In this note, we build on the very recent characterization of maximal monotonicity due to Martinez-Legaz to provide a framework for studying resolvents in which firmly nonexpansive mappings are always resolvents. This framework includes classical resolvents, resolvents based on the normalized duality mapping, resolvents based on Bregman distances, and even resolvents based on (nonsymmetric) rotators. As a by-product of recent work on the proximal average, we obtain a constructive Kirszbraun-Valentine extension result for generalized firmly nonexpansive mappings. Several examples illustrate our results.

研究の動機と目的

• バナッハ空間における既存の解像作用素、近接写像、非拡大的非拡大写像の概念を統一的かつ一般化すること。
• ブレグマン距離や双対性写像に基づく一般化枠組みにおいて、非拡大的非拡大写像が常に解像作用素であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 構成的キルツブラウン＝バレンタイン拡張定理を $ F $-非拡大的非拡大写像に対して確立すること。
• 一般化された設定下でミンティューフレームワークを用いて、単調作用素のグラフのパラメータ化を提供すること。
• 古典的近接点法を拡張する、$ F $-解像作用素に基づく反復的アルゴリズムの収束理論を構築すること。

提案手法

• フレームワークは最大単調作用素 $ F $ に基づき、$ F $-非拡大的非拡大写像と $ F $-解像作用素の定義に用いられる。
• 著者たちは、フィッツパトリック関数による最大単調性の特徴付け（Martínez-Legaz）を用い、$ F $-解像作用素が正しく定義され単値であるための条件を確立している。
• 彼らは $ F $-解像作用素を $ (\operatorname{Id} + F)^{-1}F $ として定義し、古典的解像作用素、双対性に基づく解像作用素、ブレグマンに基づく解像作用素を一般化している。
• 本稿では、$ F $-解像作用素が $ F $-非拡大的非拡大写像であることが証明されており、逆に、すべての $ F $-非拡大的非拡大写像が $ F $-解像作用素として現れることも示している。
• 近接平均を用いた構成的キルツブラウン＝バレンタイン拡張が導出され、部分空間から全空間への $ F $-非拡大的非拡大写像の拡張が可能となり、$ F $-非拡大的非拡大写像性が保たれる。
• 例を通じて手法の有効性が検証されており、$ F = \nabla \frac{1}{p}\|\cdot\|^p $ の場合や、反復スキームの収束解析も含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ F $-非拡大的非拡大写像が、ある最大単調作用素の $ F $-解像作用素であるための条件は何か？
• RQ2 古典的解像作用素、双対性に基づく解像作用素、ブレグマン解像作用素を特別な場合として含む統一的フレームワークを構築できるか？
• RQ3 $ F $-非拡大的非拡大写像に対して、古典的キルツブラウン＝バレンタイン定理を一般化する構成的拡張定理は存在するか？
• RQ4 ミンティューパラダイムに従い、この一般化された枠組みで単調作用素のグラフをどのようにパラメータ化できるか？
• RQ5 $ F $-解像作用素に基づく反復的スキームは収束するのか？どのような条件下で収束するのか？

主な発見

• 本稿では、$ F $-非拡大的非拡大写像と最大単調作用素の $ F $-解像作用素との間に一対一対応が確立され、一般化された解像作用素理論における長年の未解決問題が解決された。
• $ F $ が線形で $ \|T\| < 1 $ のとき、恒等作用素の $ F $-解像作用素は反復によりゼロに収束することが示され、古典的近接点法の収束を一般化している。
• $ F = \nabla \frac{1}{p}\|\cdot\|^p $ の場合、恒等作用素の $ F $-解像作用素は明示的に $ T_p(x) = k_p(x)x $ として計算され、$ k_p(x) $ は $ k^{p-1} + \frac{k}{\|x\|^{p-2}} = 1 $ を満たす。また、$ p \to 1^+ $ および $ p \to \infty $ における点별極限も導出された。
• 近接平均を用いた構成的キルツブラウン＝バレンタイン拡張が得られ、部分領域から全空間への $ F $-非拡大的非拡大写像の拡張が可能となり、$ F $-非拡大的非拡大写像性が保たれる。
• 逆解像作用素の恒等式が $ F $-設定に一般化され、$ A^{-1} $ の $ F $-解像作用素が $ A $ の $ F $-解像作用素で表現できることを示し、古典的な双対性結果を拡張した。
• 本フレームワークは、古典的解像作用素、双対性に基づく解像作用素（例：$ F = J $）、ブレグマンに基づく解像作用素を特別な場合として含み、広範な統一性を示している。