[論文レビュー] Generalised Einstein condition and cone construction for parabolic geometries

Stuart Armstrong|ArXiv.org|May 16, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アドジョイント・トランスフォーラー bundle における保存された自己同型を介して一般化されたアインシュタイン条件を導入することで、リーマン幾何および共形幾何に限られていたアインシュタイン条件を、すべての放物幾何に一般化する。この自己同型が、共変的に定数となる rho-テンソルを持つ一意なアフィン接続を誘導することを証明し、共形幾何における標準的なアインシュタイン計量を回復するとともに、さまざまな幾何における円錐構成を可能にする。

ABSTRACT

This paper attempts to define a generalisation of the standard Einstein condition (in conformal/metric geometry) to any parabolic geometry. To do so, it shows that any preserved involution $σ$ of the adjoint bundle $\mc{A}$ gives rise, given certain algebraic conditions, to a unique preferred affine connection $ abla$ with covariantly constant rho-tensor $\mathsf{P}$, compatible with the algebraic bracket on $\mc{A}$. These conditions can reasonably be considered the generalisations of the Einstein condition, and recreate the standard Einstein condition in conformal geometry. The existence of such an involution is implies by some simpler structures: preserved metrics when the overall algebra $\mf{g}$ is $\mf{sl}(m,\mbb{F})$, preserved complex structures anti-commuting with the skew-form for $\mf{g}=\mf{sp}(2m,\mbb{F})$, and preserved subundles of the tangent bundle, of a certain rank, for all the other non-exceptional simple Lie algebras. Examples of Einstein involutions are constructed or referenced for several geometries. The existence of cone constructions for certain Einstein involutions is then demonstrated.

研究の動機と目的

• アインシュタイン条件を、共形幾何およびリーマン幾何に限定されていたのを、すべての放物幾何に一般化すること。
• 保存された自己同型に関する代数的条件を同定し、共変的に定数となる rho-テンソルを持つ優先的なアフィン接続を導くこと。
• これらの一般化された条件が、共形幾何において標準的なアインシュタイン条件に還元されることを示すこと。
• 特定のアインシュタイン自己同型に対して円錐構成が存在することを確立し、共形幾何および射影幾何における既知の構成を拡張すること。
• 非一様な放物幾何において、アインシュタイン計量、リッチ平坦性、ホロノミーの低減に起因する幾何的構造を統一すること。

提案手法

• 放物幾何を Cartan 接続 $\omega$ を持つ $P$-バンドル $\mathcal{P}$ を介して定義し、アドジョイント・トランスフォーラー bundle $\mathcal{A} = \mathcal{G} \times_G \mathfrak{g}$ を定義する。
• Lie 環の括弧積と整合性があり、非退化な計量または部分バンドル構造が存在するなどの特定の代数的条件を満たす、$\mathcal{A}$ 上の保存された自己同型 $\sigma$ を導入する。
• その rho-テンソル $\mathsf{P}$ が共変的に定数 ($\nabla \mathsf{P} = 0$) であり、$\mathcal{A}$ 上の代数的括弧積と整合する一意なアフィン接続 $\nabla$ を、底多様体 $M$ 上に構成する。
• ラインバンドル $L$ と接続 $\widehat{\nabla}$ を用いて幾何を高次元多様体 $\widetilde{M}$ に上げることで円錐構成を確立し、ホロノミーの保存が計量または部分バンドル構造の存在を保証する。
• 特定の単純リー代数 $\mathfrak{g}$ に対して、保存された計量（$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(m,\mathbb{F})$ の場合）、複素構造（$\mathfrak{g} = \mathfrak{sp}(2m,\mathbb{F})$ の場合）、または部分バンドル（他の単純リー代数の場合）の存在を用いて、アインシュタイン自己同型の存在を保証する。
• ホロノミーの同値性により円錐構成を検証し、$\widetilde{\mathcal{V}}$ 上の $\widehat{\nabla}$ と $\mathcal{V}$ 上の $\overrightarrow{\nabla}$ の間で、誘導された接続が一般化されたアインシュタイン条件を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン条件は、共形幾何およびリーマン幾何を超えて、すべての放物幾何に一般化可能か？
• RQ2 アドジョイント・トランスフォーラー bundle $\mathcal{A}$ の自己同型 $\sigma$ に対して、一意なアフィン接続 $\nabla$ が $= 0$ を満たすために必要な代数的条件は何か？
• RQ3 保存された計量、複素構造、部分バンドルなどの幾何的構造が、非共形放物幾何におけるアインシュタイン自己同型の存在にどのように寄与するか？
• RQ4 どの放物幾何において、一般化されたアインシュタイン条件が円錐構成を可能にし、その構成に必要な十分かつ必要条件は何か？
• RQ5 退化した自己同型、または $\sigma(T^*) \cap \mathcal{A}_{(0)}$ の不成立が、導かれる接続の一意性および曲率性質に与える影響は何か？

主な発見

• 特定の代数的条件を満たす、アドジョイント・トランスフォーラー bundle $\mathcal{A}$ 上の保存された自己同型 $\sigma$ が、共変的に定数となる rho-テンソル $\mathsf{P}$ を持つ一意なアフィン接続 $\nabla$ を一意に定める。これはアインシュタイン条件の一般化である。
• 共形幾何において、一般化されたアインシュタイン条件は標準的なアインシュタイン計量条件に還元され、トランスフォーラー bundle の計量を介して既知の結果が回復される。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(m,\mathbb{F})$ の場合、$\mathcal{T}$ 上に保存された非退化計量が存在するならば、アインシュタイン自己同型が存在する。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sp}(2m,\mathbb{F})$ の場合、歪対称形式と反交換する保存された複素構造が存在するならば、アインシュタイン自己同型が存在する。
• その他の非例外的単純リー代数に対しては、$\mathcal{T}$ のあるランクの保存された部分バンドルが存在するならば、アインシュタイン自己同型が存在する。
• 一般化されたアインシュタイン条件が成立する場合、円錐構成が可能であることが示された。共形幾何、自由 $m$-分布、経路幾何、ほぼグラスマン幾何において、ホロノミーの保存が構成の妥当性を保証する。