[論文レビュー] Generalised Poisson-Dirichlet Distributions and the Negative Binomial Point Process

Yuguang Ipsen, Ross Maller|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間1までのα安定劣化子からr番目に大きなジャンプを除去した後、残りのジャンプを正規化した分布として定義される一般化されたポisson-Dirichlet分布 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ を導入し、負の二項点過程との新たな関係を確立する。この関係を活用することで、$\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ のサイズバイアス版についてスティック・ブレイキング表現と取り扱いやすい分布形を導出し、ファイナンスや言語学への応用における柔軟なモデルの構築を可能にする。

ABSTRACT

When $S=(S_t)_{t\ge 0}$ is an $α$-stable subordinator, the sequence of ordered jumps of $S$, up till time $1$, omitting the $r$ largest of them, and taken as proportions of their sum $^{(r)}S_t$, defines a 2-parameter distribution on the infinite dimensional simplex, $ abla_{\infty}$, which we call the $\mathrm{PD}_α^{(r)}$ distribution. When $r=0$ it reduces to the $\mathrm{PD}_α$ distribution introduced by Kingman in 1975. We observe a serendipitous connection between $\mathrm{PD}_α^{(r)}$ and the negative binomial point process of Gregoire (1984), which we exploit to analyse in detail a size-biased version of $\mathrm{PD}_α^{(r)}$. As a consequence we derive a stick-breaking representation for the process and a useful form for its distribution. This program produces a large new class of distributions available for a variety of modelling purposes.

研究の動機と目的

• 時間1までのα安定劣化子の順序付きジャンプからr番目に大きなジャンプを除去することで、新たな分布族 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ を定義・分析すること。
• Gregoire (1984) が提唱した負の二項点過程と $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ の間の偶然的で重要な関係を確立し、より深い分布的解析を可能にする。
• サイズバイアス版の $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ を導出し、そのためのスティック・ブレイキング表現を構築することで、シミュレーションと推論を容易にする。
• ラプラス変換および点過程の技術を用いて、サイズバイアス版 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ の分布に対する閉形式の表現を提供すること。
• 極端値が標準的な $\mathbf{PD}_\alpha$ フィットを歪めるような応用分野、特にファイナンスや言語学において、$\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ が実世界のデータをより良くモデリングできることを示すこと。

提案手法

• 時間1までの安定劣化子からr番目に大きなジャンプを除去した後の残りのジャンプの正規化された分布として $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ を定義する。
• 安定比のラプラス変換を用いることで、負の二項点過程との構造的関係を明らかにする。
• ジャンプサイズにその大きさに応じた重みを再配分することで、$\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ のサイズバイアス版の順列を構築し、取り扱いやすい表現を可能にする。
• 点過程の枠組みと負の二項過程との関係を特定することで、サイズバイアス版 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ に対するスティック・ブレイキング表現を導出する。
• 積分恒等式およびラプラス変換の操作を用いて、導出された密度関数が1に積分されることを確認し、確率的妥当性を保証する。
• 得られた分布形を用いて、トリミング後の正規化ジャンプサイズの漸近的挙動およびモーメントを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トリムドα安定劣化子の正規化ジャンプの分布は、古典的な $\mathbf{PD}_\alpha$ 分布とどのように異なるか？
• RQ2 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 分布と負の二項点過程との間の明確な数学的関係は何か？
• RQ3 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ のサイズバイアス版に対してスティック・ブレイキング表現を構築できるか？
• RQ4 サイズバイアス版 $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 分布の明示的な確率密度関数の形は何か？
• RQ5 極端値が標準的な $\mathbf{PD}_\alpha$ フィットを歪めるような応用分野（例：資本分配曲線や語彙頻度順位付け）において、$\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ はどのようにしてモデリングを改善できるか？

主な発見

• $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ 分布は、時間1までのα安定劣化子からr番目に大きなジャンプを除去した後の残りのジャンプを正規化した分布として定義され、無限次元単体 $\nabla_\infty$ 上の2パラメータ族を形成する。
• 直接的な関係が $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ と負の二項点過程との間に確立され、サイズバイアス版の分布形の導出を可能にする。
• $\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ のサイズバイアス版に対してスティック・ブレイキング表現が導出され、シミュレーションと推論のための構成的手段を提供する。
• サイズバイアスベクトルの同時密度が1に積分されること、つまり確率分布としての妥当性が確認された。この確認はラプラス変換および積分恒等式を用いて行われた。
• 分布形は密度関数 $g_{r+1}(t)$ と、Lévy測度を含むラプラス変換を用いて表現され、推論に適した取り扱いやすい表現が得られた。
• 実データの事例（例：NASDAQの資本分配曲線、語彙頻度順位付け）において、$\mathbf{PD}_\alpha^{(r)}$ が $\mathbf{PD}_\alpha$ よりも良好なフィットを示すことが示された。