[論文レビュー] Generalised Wishart Processes

Andrew Gordon Wilson, Zoubin Ghahramani|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2010

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 23被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、ワイシャルト分布に従う周辺分布を備えた確率過程としての一般化ワイシャルト過程（GWP）を導入する。このGWPは、時間や共変量を含む任意の従属変数によってインデックス付けされた、時変動する共分散行列をモデル化する。GWPは、欠損データを伴う金融データや高次元スケーラビリティを考慮した複雑な共分散構造（特に非対角要素）を捉える点で、多次元GARCHおよび標準ワイシャルト過程を凌駕する。自由パrameterを必要とせず、解釈可能なベイズ的手法による推論が可能である。

ABSTRACT

We introduce a stochastic process with Wishart marginals: the generalised Wishart process (GWP). It is a collection of positive semi-definite random matrices indexed by any arbitrary dependent variable. We use it to model dynamic (e.g. time varying) covariance matrices. Unlike existing models, it can capture a diverse class of covariance structures, it can easily handle missing data, the dependent variable can readily include covariates other than time, and it scales well with dimension; there is no need for free parameters, and optional parameters are easy to interpret. We describe how to construct the GWP, introduce general procedures for inference and predictions, and show that it outperforms its main competitor, multivariate GARCH, even on financial data that especially suits GARCH. We also show how to predict the mean of a multivariate process while accounting for dynamic correlations.

研究の動機と目的

• 多次元GARCHやワイシャルト過程といった既存の多次元ボラティリティモデルの限界、すなわち高いパrameter複雑性、スケーラビリティの低さ、制限された依存構造を是正すること。
• 時間や金利などの共変量を含む、任意の従属変数によってインデックス付けされた動的共分散行列Σ(t)を確率過程として統一的にモデル化するフレームワークの構築。
• 自由パrameterを必要とせず、欠損データや複雑な共分散構造（周期的、滑らか、非マルコフ的依存など）を伴う状況でも、強固な推論と予測を可能にすること。
• 経済学および機械学習分野における高次元時系列モデル化のための、一般性・解釈可能性・スケーラビリティに優れた、多次元GARCHおよび標準ワイシャルト過程の代替手段を提供すること。
• 金融危機期や欠損観測を含む現実世界のデータ課題に対処する能力を示し、共変動（非対角共分散）を捉える能力およびモデルの優位性を実証すること。

提案手法

• 一般化ワイシャルト過程（GWP）を、ワイシャルト分布に従う周辺分布を備えた確率過程として定義する。ここでの共分散行列Σ(t)は、時間や共変量を含む任意のインデックス集合（例えば、時間、共変量）に沿って変化する。
• 二乗指数カーネル（例：Squared Exponential Kernel）を含むカーネルベースの共分散構造を用いて、異なるインデックス点におけるΣ(t)間の依存関係をモデル化する。これにより、時間的および共変量駆動のダイナミクスを柔軟に表現可能となる。
• ワイシャルトおよび逆ワイシャルト事前分布を用いた共役ベイズ推論により、Σ(t)に関する事後分布と予測分布の効率的更新が可能となり、欠損データに対しても対応可能となる。
• 従来のワイシャルト過程が有するオーナー・ウーレンブルク構造に制限されない、非マルコフ的かつ非自己回帰的フレームワークを導入し、より複雑な依存関係を扱えるようにする。
• 実データおよび真の共分散行列が既知の合成データを用いた、1ステップ先予測および歴史的再構築のための予測手順を実装する。
• 実際の金融データ（EXCHANGE）および、株価指数の実測共分散行列から生成された合成データ（EQUITY）にGWPを適用し、真のΣ(t)が既知であるため、真の値との比較が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイシャルト周辺分布を備えた確率過程を、時間や外部共変量を含む任意の従属変数によってインデックス付けされた動的共分散行列をモデル化するために一般化できるか？
• RQ2 GWPは、金融データにおいて、特に非対角要素を含む複雑な時変動共分散構造を、多次元GARCHおよび標準ワイシャルト過程を凌駕して捉えることができるか？
• RQ3 自由パrameterを必要とせず、複雑なパrameterチューニングを伴わずに、欠損データおよび高次元設定を効果的に処理できるか？
• RQ4 真のΣ(t)が既知の状況において、GWPは既存のモデルと比較して、真の共分散ダイナミクスをどれほど正確に再構築できるか？
• RQ5 GWPは、従来モデルが固定されたオーナー・ウーレンブルク構造に制限されるのとは異なり、周期性、滑らかさ、非マルコフ的依存など、多様な共分散パターンをどれほど正確にモデル化できるか？

主な発見

• GARCHは金融リターンデータに特に適しているにもかかわらず、EXCHANGEおよびEQUITYの両データセットにおいて、GWPがGARCHを上回る性能を示した。
• 標準ワイシャルト過程（WP）は、オーナー・ウーレンブルク共分散構造に制限されているため、GWPはより複雑な相関関係を捉える能力があることが示された。
• GWPは、非対角共分散要素（共変動）の予測において顕著に優れた性能を発揮しており、これは、金融資産間の動的相関をよりよくモデル化できることを示唆している。
• 図3に示すように、GWPは歴史的共分散行列を効果的に再構築しており、対角成分の分散および非対角成分の共分散の両方において、真のΣ(t)をよく追跡している。
• わずか200件の訓練データのみで、1ステップ先の予測および歴史的予測が正確に可能であり、実世界の金融データにおいてもスケーラビリティとロバストネスを示している。
• 自由パrameterが存在せず、カーネルの長さスケールなどのオプションのハイパーパrameterが解釈可能であるため、GWPは高次元応用において実用的かつ理論的にも妥当である。