[論文レビュー] Generalization of the Neville-Aitken Interpolation Algorithm on Grassmann Manifolds : Applications to Reduced Order Model

Rolando Mosquera, Abdallah El Hamidi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2019

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、パラメトリックPDEにおける低次元モデル化のため、Grassmann多様体へNeville-Aitken補間アルゴリズムを一般化し、基準点を必要とせずにPOD部分空間を再帰的に補間するための測地線重心を用いる。3つのCFDアプリケーション、特に渦脱離および回転体周囲の流れを含め、既存の手法と比較して高い精度と高速な計算を達成している。

ABSTRACT

The interpolation on Grassmann manifolds in the framework of parametric evolution partial differential equations is presented. Interpolation points on the Grassmann manifold are the subspaces spanned by the POD bases of the available solutions corresponding to the chosen parameter values. The well-known Neville-Aitken's algorithm is extended to Grassmann manifold, where interpolation is performed in a recursive way via the geodesic barycenter of two points. The performances of the proposed method are illustrated through three independent CFD applications, namely: the Von Karman vortex shedding street, the lid-driven cavity with inflow and the flow induced by a rotating solid. The obtained numerical simulations are pertinent both in terms of the accuracy of results and the time computation.

研究の動機と目的

• パラメトリックPDEにおける異なるパラメータの下での固有正交分解（POD）部分空間の補間という課題に取り組むこと、特に流体力学的応用を想定する。
• Amsallem & Farhat (2011) やIDWベースの手法に見られるように、基準点や反復的最小化を必要とする既存手法の制限を克服すること。
• Grassmann多様体上での直接的かつ再帰的な補間アルゴリズムの開発により、低次元モデル化における精度と計算効率を向上させること。
• 多様な流体力学的問題、特にパrameter領域が異なる場合においても、本手法の頑健性と性能を実証すること。
• Grassmann多様体上の補間部分空間を用いた、リアルタイムの解予測が可能なスケーラブルで非侵襲的なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 線形補間を部分空間間の測地線重心計算に置き換えることで、古典的Neville-AitkenアルゴリズムをGrassmann多様体へ拡張する。
• 測地線重心を再帰的補間ステップとして用い、m次元部分空間の多様体上でのリーマン幾何学的整合性を保証する。
• 部分空間の補間を直接 $ G_m(H) $ 上で実行し、対数写像アプローチで必要とされる固定基準点を回避する。
• 異なるパrameter値に対応するPOD基底を補間し、その補間部分空間にフルオーダーのスナップショットを射影することで低次元モデル（ROM）を構築する。
• Neville-Aitken構造を模倣するように、複数のパrameter値にわたって再帰的に補間を実行し、階層的補間木を構築する。
• 3つのCFDテストケース（異なるレイノルズ数と流れの配置）において、射影誤差と動的システム誤差を用いて手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Neville-Aitken補間アルゴリズムをGrassmann多様体へ一般化することで、パラメトリックPDEにおけるPOD部分空間の効率的かつ高精度な補間が可能になるか？
• RQ2 Amsallem & Farhat (2011) や他の基準手法と比較して、本手法の精度と計算コストはどの程度異なるか？
• RQ3 補間プロセスにおいて基準点を必要としないことで、高次元パラメータ空間における頑健性と収束性が向上するか？
• RQ4 再帰的測地線重心アプローチが、複雑な流れ構造を示す多様な流体力学的構成において、どの程度精度を維持できるか？
• RQ5 本手法は、渦脱離や回転体周囲の流れといった非定常的・非線形な問題に、最小限の計算コストで効果的に適用可能か？

主な発見

• Grassmann多様体上でのNeville-Aitkenベースの手法は、Amsallem手法よりも低い射影誤差を達成し、変動速度の誤差はケース1で1.874e-03、ケース2で2.457e-03、ケース3で2.141e-03であった。
• 動的システム誤差も低く抑えられ、ケース1で2.108e-02、ケース2で1.817e-02、ケース3で1.474e-02を示し、すべてのテストケースでAmsallem手法を上回った。
• 基準点の必要性が排除され、実装が簡素化され、基準部分空間選択に伴う条件数の悪化の懸念も回避された。
• 再帰的測地線重心計算により、反復的最適化を必要とするIDWベース手法と比較して、計算コストを低減する直接的かつ反復なしの補間が可能になった。
• 3つのCFDアプリケーション（Von Karman渦脱離、流入を伴うドア・キャビティ、回転する固体）において、補間されたROMはパrameter値全域で高い精度と安定性を示した。
• 低次元モードの時間的係数が、基準解とよく一致しており、本手法が非定常流れにおける動的挙動を適切に保持できることを確認した。