[論文レビュー] Generalizations of Ekeland-Hofer and Hofer-Zehnder symplectic capacities and applications

Rongrong Jin, Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2019

Finite Group Theory Research参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック同相写像を伴うハミルトニアン境界値問題に基づく一般化されたシンプレクティック容量を導入し、エケラン＝フーゲルおよびホーファー＝ツェンダー容量を拡張する。非周期的軌道に関連する新しい不変量を確立し、凸超曲面に $Ψ$-特徴曲線の存在を証明し、一般化されたウィーンスタイン予想と表現公式を検証する。これらの結果は、シンプレクティック位相幾何学におけるハミルトニアン力学およびグロモフ・ウィッテンインバリアントを用いたスペクトル推定に応用される。

ABSTRACT

In this paper we construct analogues of Ekeland-Hofer and Hofer-Zehnder symplectic capacities based on a class of Hamiltonian boundary value problems motivated by Clarke's and Ekeland's work, and study generalizations of some important results about the original two capacities (for example, the famous Weinstein conjecture, representation formula for $c_{ m EH}$ and $c_{ m HZ}$, and a theorem by Evgeni Neduv).

研究の動機と目的

• シンプレクティック同相写像を用いた非周期的設定に、古典的なエケラン＝フーゲルおよびホーファー＝ツェンダーのシンプレクティック容量を拡張すること。
• シンプレクティック同相写像に関して、接触型超曲面に対する一般化されたウィーンスタイン予想を確立すること。
• ハミルトニアン境界値問題における変分法を用いて、新しいシンプレクティック不変量を構成すること。
• これらの一般化された容量に関する表現公式とスペクトル推定を証明し、グロモフ・ウィッテンインバリアントと関連付けること。

提案手法

• すべての $t \in [0,T]$ に対して $z(T) = \Psi z(0)$ および $\dot{z}(t) \in \mathcal{L}_{\mathcal{S}}|_{z(t)}$ を満たす $C^1$ 曲線 $z:[0,T] \to \mathcal{S}$ を $Ψ$-特徴曲線と定義する。
• 非周期的境界条件に適応された変分枠組みを用いて、一般化容量 $c^\Psi_{\rm EH}$ および $c^\Psi_{\rm HZ}$ を構成する。
• エケラン＝フーゲルおよびホーファー＝ツェンダーの古典的関数クラスと非共鳴条件を、非周期的状況に拡張する。
• 凸集合 $D$ に対する下位微分法とミンコフスキー汎関数 $j_D$ を用いて、境界ダイナミクスをモデル化する。
• 制約付きハミルトニアン系における臨界点理論を用いて、容量の有限性を証明する。
• エネルギー準位付近での作用汎関数の $C^0$-正則性と有界 Variation 性を用いて、スペクトル推定を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エケラン＝フーゲルおよびホーファー＝ツェンダー容量は、シンプレクティック同相写像を伴う非周期的ハミルトニアン系に一般化可能か？
• RQ2 任意の $\Psi \in \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ に対して、$\mathbb{R}^{2n}$ 内の凸超曲面に $\Psi$-特徴曲線が存在するか？
• RQ3 元の $c_{\rm EH}$ および $c_{\rm HZ}$ に類似した表現公式が、一般化された容量についても存在するか？
• RQ4 これらの一般化された容量は、シンプレクティック位相幾何学におけるグロモフ・ウィッテンインバリアントおよびスペクトル不変量とどのように関係するか？
• RQ5 接触型超曲面における $Ψ$-特徴曲線に関して、一般化されたウィーンスタイン予想を証明できるか？

主な発見

• 一般化された容量 $c^\Psi_{\rm HZ}(D_0, \omega_0)$ は有限であり、$Ψ$-特徴曲線の最小周期を含む表現公式を有する。
• 任意の $\Psi \in \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ に対して、内部が空でないコンパクトな凸集合 $D$ の境界 $\mathcal{S}$ 上に非定数の $\Psi$-特徴曲線が存在する。
• 一般化されたウィーンスタイン予想が成立する：任意の $\mathbb{R}^{2n}$ 内の接触型超曲面は、任意の $\Psi \in \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ に対して $\Psi$-特徴曲線を有する。
• 容量 $c^\Psi_{\rm HZ}$ は $C^0$-正則性推定を満たす：十分小さい $\epsilon$ に対して $\mathfrak{C}(\epsilon) \leq c^\Psi_{\rm HZ}(D_0,\omega_0) + T_{x^*}\epsilon + K\epsilon^2$ が成り立ち、ここで $T_{x^*}$ は最小周期である。
• $\mathfrak{C}(\epsilon)$ の $\epsilon = 0$ における左微分と右微分が存在し、それぞれ $T^{\max}(e_0)$ および $T^{\min}(e_0)$ に等しいことが証明され、スペクトル安定性が得られる。
• 直交的シンプレクティック行列 $\Psi = \begin{pmatrix} U & -V \\ V & U \end{pmatrix}$ に対して、$g^\Psi(s) = \det(\Psi - e^{sJ})$ の $(0,2\pi]$ 内の最小零点は $\theta_1$ であり、これは $U + iV$ の最小固有角に一致する。また、$\mathfrak{t}(\Psi) = \theta_1$ が成り立つ。