[論文レビュー] Generalizations of Reeb spaces of special generic maps and applications to a problem of lifts of smooth maps

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|May 20, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特殊一般写像のリーブ空間への一般化された商写像を、多面体およびコンact多様体への写像へと拡張し、それらを用いて、高次元ユークリッド空間への埋め込みによるモース関数の上昇問題を解く。任意の次元 >2 の閉多様体上の球面的モース関数は、n ≥ max{(3m+3)/2, m+3}+1 を満たす R^n への埋め込みに上昇可能であり、その合成写像が標準的射影と一致する。

ABSTRACT

A Reeb space is defined as the space of all the connected components of inverse images of a smooth map, which is a fundamental tool in studying smooth manifolds using generic smooth maps whose codimensions are not positive such as Morse functions, their higher dimensional versions including fold maps and general stable maps. A special generic map is a fold map and a generalization of Morse functions with just 2 singular points on homotopy spheres and the Reeb space is a compact manifold whose dimension is equal to that of the target manifold and which can be immersed into the target manifold. In this paper, we generalize a quotient map onto a Reeb space of a special generic map. We define a map onto a polyhedron locally a quotient map induced from a special generic map. Moreover, we take advantage of the generalized maps to construct lifts of Morse functions of a certain class; the composition of the lift and the canonical projection is the original funciton. It is an answer of an explicit problem in the studies of lifts of smooth maps, or maps such that the compositions of the found maps and the canonical projections are original maps, which are fundamental and important in the studies of smooth maps and applications to algebraic and differential topology of manifolds.

研究の動機と目的

• 特殊一般写像のリーブ空間への商写像を、多面体およびコンパクト多様体への写像へ一般化すること。
• 高次元ユークリッド空間への埋め込みまたは浸漬によるモース関数の上昇問題という未解決問題に取り組むこと。
• 元の滑らかな写像が回復されるように、合成写像が標準的射影と一致する上昇の明示的構成を提供すること。
• 特殊一般写像および擬似特殊一般写像の上昇に関する先行結果を、より高いcodimensionへと拡張すること。
• 特に非可換多様体および高次元の標的に対して、このような上昇が存在するための条件を確立すること。

提案手法

• 特殊一般写像の局所的モデルに基づく、擬似特殊一般写像を定義し、リーブ空間の商写像の一般化とする。
• リーブ空間の構造とそのコラール近傍の性質を用いて、局所的な上昇を大域的埋め込みへと拡張する。
• [15] における球面の埋め込み空間の単連結性を用いた技術を応用し、自明な擬似特殊一般写像を拡張する。
• リーブ空間の境界コラール上に、自明な正規バンドルを用いて写像を拡張することで、R^n への埋め込み上昇を構成する。
• 埋め込みと標準的射影 π_{n,1} の合成が、元のモース関数を回復することを保証する。
• S^{m-2} の R^{n-3} への滑らかな埋め込み空間が単連結であることを利用し、上昇を大域的に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊一般写像のリーブ空間構成を、コンパクト多様体および多面体への写像へ一般化できるか？
• RQ2 次元 >2 の閉多様体上の球面的モース関数が、π_{n,1} との合成が元の関数を回復するように R^n への埋め込みに上昇可能となる条件は何か？
• RQ3 このような上昇が存在する最小の次元 n は何か？
• RQ4 被覆多様体の可換性および位相的性質は、このような上昇の存在にどのように影響するか？
• RQ5 上昇が、R^3 に埋め込まれた2次元コンパクト多様体への自明な擬似特殊一般写像と同値な写像を π_{n,3} と合成することで得られるように構成可能か？

主な発見

• 次元 m > 2 の閉多様体上の球面的モース関数は、n ≥ max{(3m+3)/2, m+3}+1 を満たす R^n への滑らかな埋め込みと標準的射影 π_{n,1} の合成として表現可能である。
• 埋め込み上昇は、π_{n,3} との合成が、R^3 に埋め込まれた2次元コンパクト多様体への自明な擬似特殊一般写像と同値な写像をもたらすように構成可能である。
• この構成は、球面の埋め込み空間の単連結性を用いて、リーブ空間の境界コラール上での局所的上昇を拡張することに依存する。
• 非可換な被覆多様体に対しては、元の擬似特殊一般写像が自明である場合、n > 2 における特殊一般写像としての上昇は構成できない。
• 先行研究 [11] は可換性を仮定し、わずかに小さい n を要していたが、本結果は非可換ケースおよびより高いcodimensionへと構成を拡張することで、それらを一般化している。