[論文レビュー] Generalized affine buildings

Petra Schwer|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2009

Structural Analysis and Optimization参考文献 21被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、三角不等式を満たすWeyl群作用と距離関数を備えた距離空間として一般化されたアフィンビルディングを導入し、古典的なアフィンビルディングを非離散的および$Λ$-値の設定へと拡張する。主な凸性性質を確立し、同一のアパートメントに属する点間の線分が、与えられた無限遠の理想点を含むアパートメントの有限個の和集合に含まれることを示し、無限遠を中心とする再び引き込み写像が距離を非増加にすることが示され、古典的な結果がより広いクラスのビルディングへ一般化される。

ABSTRACT

In the present thesis geometric properties of non-discrete affine buildings are studied. We cover in particular affine $Λ$-buildings, which were introduced by Curtis Bennett in 1990 and which already have proven to be useful for applications. The main results are as follow: First we prove an extension theorem for ecological isomorphisms of buildings at infinity. Further, complementing a joint project with L. Kramer and R. Weiss, we give an algebraic proof of the existence of (necessarily) non-discrete affine buildings having Suzuki-Ree buildings at infinity. Most of the effort is put in the generalization of Kostant's convexity theorem for symmetric spaces in the setting of simplicial affine and affine $Λ$-buildings. The proofs are based on connections to representation theory as well as on methods borrowed from metric geometry.

研究の動機と目的

• アフィンビルディング理論を非離散的および$Λ$-値の設定へ一般化し、離散的でない賦値へも拡張されるメトリックおよび組合せ的構造を拡張すること。
• アパートメント内の線分の凸性性質を確立し、それらが与えられた無限遠の理想点を含むアパートメントの有限個の和集合に含まれることを示すこと。
• 無限遠を中心とする再び引き込み写像が距離を非増加にするのを証明し、離散的から一般化されたアフィンビルディングへ古典的な結果を一般化すること。
• 一般化されたアフィンビルディングにおけるメトリックおよび幾何的性質を統一的に扱う枠組みを提供すること。これには$Λ$-ビルディングおよび$Λ$-値距離が含まれる。

提案手法

• 論文は、Weyl群作用と三角不等式を満たす$Λ$-値距離関数を含む、公理(A1)–(A6)のセットを用いて一般化されたアフィンビルディングを定義する。
• Weylチャンバ$S$を中心とするアパートメント$A$への再び引き込み写像$r_{A,S}$の概念を用い、三角不等式の条件下でそれが距離を非増加にするのを証明する。
• 証明は、線分$\mathrm{seg}(x,y)$を含む有限個のアパートメントの鎖$A_0, \dots, A_n$を構成することに依拠し、隣接するペアが重複するようにすることで、再び引き込みにおける距離の保存を保つ。
• 点におけるWeylチャンバの芽と反対のチャンバの概念を用いて、ビルディング内での線分と再び引き込みの挙動を制御する。
• 特に$\mathrm{CAT}(0)$性質を含むメトリック幾何学の結果を適用し、一般化されたビルディングの幾何的実現が非正曲率を引き継ぐことを示す。
• Bennettが導入した$Λ$-ビルディングの構造とTitsの「システム・ド・パルティメント」の公理的枠組みを活用し、離散的および非離散的ケースを統一する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンビルディング理論を非離散的および$Λ$-値の設定へ一般化する方法は何か？ その際、主要な幾何的およびメトリック性質を保持する条件は何か？
• RQ2 同一のアパートメントに属する2点間の線分が、与えられた無限遠の理想点を含むアパートメントの有限個の和集合に含まれる条件は何か？
• RQ3 一般化されたアフィンビルディングにおける無限遠を中心とする再び引き込み写像は距離を非増加にするか？ その性質を保証する公理は何か？
• RQ4 三角不等式が$\Lambda$-値距離関数において、メトリックの凸性および再び引き込みの性質を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 同一のアパートメント$A$に属する2点$x$と$y$の間の線分$\mathrm{seg}(x,y)$は、任意の点$z$を基点とするWeylチャンバの有限個の和集合に含まれ、条件(FS')を満たす。
• 点$z$を基点とするWeylチャンバの芽$\mu$が与えられれば、$\mathrm{seg}(x,y)$は$\mu$を含むアパートメントの有限個の和集合に含まれる。これは局所的凸性性質を確立する。
• Weylチャンバ$S$を中心とする再び引き込み写像$r_{A,S}$は距離を非増加にする。これは、線分を重複するアパートメントを跨ぐ部分線分に分解することで示される。
• 任意の無限遠の理想点$c$に対して、線分$\mathrm{seg}(x,y)$は$c$を含むアパートメントの有限個の和集合に含まれる。これにより条件(FS)が証明される。
• 無限遠を中心とする再び引き込み写像の距離非増加性は、$\Lambda$-値距離関数における三角不等式から導かれる。
• 公理(A5)と(A5')の同値性が確立された。(A5')は、誘導された距離関数における三角不等式であり、距離を非増加にする再び引き込み写像の存在を保証する。