[論文レビュー] Generalized Backward Stochastic Differential Equation With Two Reflecting Barriers and Stochastic Quadratic Growth

El Hassan Essaky, M. Hassani|arXiv (Cornell University)|May 19, 2008

Stochastic processes and financial applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、z変数における確率的二次成長を有する1次元一般化された後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）に対して、2つの反射境界を持つ最大解の存在を確立する。比較定理、指数変換、近似技術を用いることで、データに対するP可積分性条件を要件としないで解の存在を証明し、Dynkinゲームやアメリカンゲームオプションへの応用に拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study one-dimensional generalized reflected backward stochastic differential equation with two barriers and stochastic quadratic growth. We prove the existence of a maximal solution when there exists a semimartingale between the barriers L and U, the generator f is continuous with general growth with respect to the variable y and stochastic quadratic growth with respect to the variable z and without assuming any P-integrability conditions on the data. The proof of our result is based on the use of a comparison theorem, an exponential transformation and an approximation technique. Our result is applied to the Dynkin game problem as well as to the American game option. Keys Words: Reflected backward stochastic differential equation; stochastic quadratic growth; comparison theorem; exponential transformation. AMS Classification(1991): 60H10, 60H20. 1

研究の動機と目的

• 2つの反射境界と確率的二次成長を有する一般化された反射後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）を研究すること。
• 先行研究で一般的に要請されるデータのP可積分性仮定の欠如に対処すること。
• 生成子fの一般的成長条件の下で最大解の存在を確立すること。
• 確率的制御およびゲーム理論への応用、特にDynkinゲームやアメリカンゲームオプションへの理論的枠組みの拡張すること。

提案手法

• 一般的成長条件の下でBSDEの解を比較するための比較定理を用いる。
• 生成子のz変数における確率的二次成長を扱うために指数変換を適用する。
• 収束する解の列を構成するための近似技術を用いる。
• 2つの反射境界LとUの間の半マルティンゲールの存在に依存して、経路の正則性を保証する。
• 生成子fのyに関する連続性とzに関する確率的二次成長を組み合わせることで、現実的な金融および制御問題をモデル化する。
• P可積分性が欠如する状況においても、緊密性およびコンパクトネスの議論を用いて近似解の収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子がzに関して確率的二次成長を有し、yに関して一般的成長を有する反射BSDEに対して、最大解が存在しうるか。
• RQ2 終端条件やドライバーのP可積分性を仮定しないで、解の存在を証明することは可能か。
• RQ3 比較定理は、生成子の非マルコフ的かつ非リプシッツ的構造を有する反射BSDEの文脈でどのように拡張可能か。
• RQ4 z変数における二次成長を安定化させるために、どのような変換技術が有効か。
• RQ5 この枠組みは、Dynkinゲームやアメリカンゲームオプションなどの確率的ゲーム問題へ、どの程度まで応用可能か。

主な発見

• 一般的成長および確率的二次成長条件の下で、2つの反射境界を有する一般化された反射BSDEに対して最大解が存在する。
• データのP可積分性を要件としないで解が構成され、より正則性の低い設定への応用範囲が拡大される。
• 指数変換は、生成子のz成分における二次成長を効果的に制御する。
• 比較定理は、生成子の非マルコフ的かつ非リプシッツ的構造を扱えるように拡張された。
• この枠組みはDynkinゲーム問題に成功裏に適用され、一般的条件下での確率的解が得られる。
• この手法により、解はほとんど確実に2つの反射境界内に留まることが保証され、経路の適合性が確保される。