[論文レビュー] Generalized BSDE With 2-Reflecting Barriers and Stochastic Quadratic Growth. Application to Dynkin Games

El Hassan Essaky, M. Hassani+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、弱い仮定の下で、二重の反射境界を持つ1次元一般化バックワードストキャスティック微分方程式（GBSDE）に対して最大解の存在を確立する。終端条件は僅かに FT-可測であるとされ、ドライバーは y に関して一般な成長を示し、z に関して確率的二次的成長を示すが、P-可積分性を要しない。証明は比較定理、指数変換、近似技術に依拠し、Dynkinゲームおよびアメリカンゲームオプションへの応用がなされ、より弱い条件下での鞍点の存在を示す。

ABSTRACT

In this paper we study the existence of a solution for one-dimensional generalized backward stochastic differential equation (GBSDE for short) with two reflecting barriers under weak assump- tions on the coefficients. In particular, we construct a maximal solution for such a GBSDE when the terminal conditionis only FT measurable and the driver f is continuous with general growth with respect to the variable y and stochastic quadratic growth with respect to the variable z without assuming any P integrability conditions. The proof of our main result is based on a comparison theorem, an exponential change and an approximation technique. Finally, we give applications of our result to the Dynkin game problem as well as to the American game option. We prove the existence of a saddle-point for this game under weaker conditions in a general setting.

研究の動機と目的

• 係数に関する最小限の仮定の下で、二重の反射境界を持つ一般化バックワードストキャスティック微分方程式（GBSDE）の解の存在を確立すること。
• ドライバー f に対する標準的な可積分性条件を緩和し、特に z 変数における P-可積分性の必要性を排除すること。
• y に関して一般な成長、z に関して確率的二次的成長を示すケースにまで反射付きBSDE理論を拡張すること。
• 理論的結果をDynkinゲーム問題およびアメリカンゲームオプションに応用し、従来よりも弱い条件下での鞍点の存在を証明すること。

提案手法

• 解の順序付けを保証し、近似プロセスにおける順序を制御するため、比較定理を用いる。
• y 変数における一般な成長を扱い、ドライバーを安定化するために、指数的測度変換を適用する。
• 切り捨てと正則化を用いた近似技術を実装し、最大解に収束する解の列を構成する。
• 有界ドライバーおよび境界を持つGBSDEの列を構築し、緊密性および収束の議論を用いて極限に移行する。
• 弱収束技術および一様推定を用いて、極限が元の二重反射境界付きGBSDEを満たすことを保証する。
• z におけるドライバーの確率的二次的成長の構造を活用し、可積分性を要件としないまま伊藤積分項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドライバー f が y に関して一般な成長、z に関して確率的二次的成長を示すが、P-可積分性を要しない場合に、1次元GBSDEに二重反射境界を持つ解が存在しうるか？
• RQ2 終端条件が僅かに FT-可測であり、有界または二階可積分でない場合に、最大解を構成することは可能か？
• RQ3 比較定理を、二重の反射境界と一般な成長を示す非線形ドライバーの相互作用を扱うようにどのように適応できるか？
• RQ4 従来の知られていたよりも弱い仮定の下で、Dynkinゲームにおける鞍点の存在を保証する条件は何か？
• RQ5 提案手法を一般確率空間におけるアメリカンゲームオプションの解の存在を示すために拡張可能か？

主な発見

• 終端条件が僅かに FT-可測であるという弱い仮定のもとで、二重反射境界付きGBSDEに対して最大解が存在する。
• ドライバー f は y に関して一般な成長、z に関して確率的二次的成長を示すが、いかなる P-可積分性条件も要しない。
• 解は近似スキームと指数的測度変換、および比較定理を組み合わせて構成される。
• 従来の要件よりも弱い条件下で、一般設定におけるDynkinゲーム問題に対して鞍点の存在が証明された。
• この手法はアメリカンゲームオプションにも適用可能であり、この文脈におけるナッシュ均衡の存在が確立された。