[論文レビュー] Generalized boundary triples, Weyl functions and inverse problems

Vladimir Derkach, Seppo Hassi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 43被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間における対称作用素の文脈において、境界三つ組とヴェイユ関数の一般化された枠組みを構築し、ヴェイユ関数がネバリンナ族であるか、クラス $\widetilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$ に属するための条件を確立する。主な貢献は、ヴェイユ関数を用いた一般化された境界三つ組の特徴付けであり、関連する二次形式の閉包可能性と、基準作用素 $A_0 = \ker \Gamma_0$ の本質的自己共役性を結びつける。応用例として、点相互作用または混合境界条件を伴うシュレーディンガー作用素、ディラック作用素、ラプラシアン作用素などの微分作用素に適用する。

ABSTRACT

With a closed symmetric operator $A$ in a Hilbert space ${\mathfrak H}$ a triple $Π=\{{\mathcal H},Γ_0,Γ_1\}$ of a Hilbert space ${\mathcal H}$ and two abstract trace operators $Γ_0$ and $Γ_1$ from $A^*$ to ${\mathcal H}$ is called a generalized boundary triple for $A^*$ if an abstract analogue of the second Green's formula holds. Various classes of generalized boundary triples are introduced and corresponding Weyl functions $M$ are investigated. The most important ones for applications are specific classes of (essentially) unitary boundary triples which guarantee that the Weyl functions of boundary triples are Nevanlinna functions on ${\mathcal H}$, or at least they belong to the class of Nevanlinna families. The boundary condition $Γ_0f=0$ determines a reference operator $A_0$. The case where $A_0$ is selfadjoint implies a relatively simple analysis, as the joint domain of the trace mappings $Γ_0$ and $Γ_1$ admits a von Neumann type decomposition. The case where $A_0$ is only essentially selfadjoint is more involved, but appears to be of great importance, for instance, in applications to PDEs and ODEs. Various classes of generalized boundary triples will be characterized in purely analytic terms via the Weyl function $M$. These characterizations involve solving direct and inverse problems for specific classes of (unbounded) operator functions $M$. One of the main results specifies the analytic properties of $M$ which guarantee that $A_0$ is essentially selfadjoint. In this study we also derive, for instance, Kre\uın-type resolvent formulas for the most general classes of unitary and isometric boundary triples appearing in the present work. All the main results are shown to have applications in the study of ordinary and partial differential operators.

研究の動機と目的

• 基準作用素 $A_0 = \ker \Gamma_0$ が本質的に自己共役にすぎない場合を含め、標準的な自己共役基準作用素に限らない境界三つ組の理論を拡張すること。
• 関連するヴェイユ関数 $M(\cdot)$ の解析的性質に基づいて、一般化された境界三つ組を特徴付けること、特に $M(\cdot) \in \mathcal{R}(\mathcal{H})$ または $\widetilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$ に属する場合に注目すること。
• 複素数平面の上半面または下半面に属する任意の $z$ に対して、$\mathcal{H}$ 上で定義された二次形式 $\tau_{M(z)}(f,g) = (2i\,{\rm Im\,}z)^{-1}[(M(z)f,g) - (f,M(z)g)]$ の閉包可能性について、$z$ に依存しない必要十分条件を確立すること。
• ユニタリおよび等長境界三つ組の最も一般な設定において、クレイン型の分解公式を導出することにより、逆問題およびスペクトル理論への応用を可能にすること。
• ラプラシアン作用素（粗い境界またはリプシッツ境界を伴う領域上）、点相互作用を伴うシュレーディンガー作用素およびディラック作用素、混合境界値問題などの具体的な作用素に、開発された枠組みを適用すること。

提案手法

• 対称作用素 $A$ の共役作用素 $A^*$ に対して、抽象的な第二グリーンの恒等式を満たす一般化された境界三つ組 $\Pi = \{\mathcal{H}, \Gamma_0, \Gamma_1\}$ を導入する。
• ヴェイユ関数 $M(\lambda) = \Gamma_1 (A^* - \lambda)^{-1} \Gamma_0^*$ を定義し、$\mathbb{C}_\pm$ から $\mathcal{H}$ 上の有界作用素への写像として定義し、その解析的性質を分析する。
• ヴェイユ関数を用いて一般化された境界三つ組のクラスを特徴付け、特に $M(\cdot) \in \mathcal{R}(\mathcal{H})$ または $\widetilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$ となる場合に注目し、ヴェイユ関数がネバリンナ族であることを保証する。
• 二次形式 $\tau_{M(z)}(f,g)$ を導入し、基準作用素 $A_0 = \ker \Gamma_0$ が本質的に自己共役である場合に限り、$\mathcal{H}$ 上で閉包可能であることを証明する。
• von Neumann 型の分解を用いて、$\Gamma_0$ と $\Gamma_1$ の共通定義域を $A_0$ と欠損部分空間を介して記述し、境界三つ組の構造を分析する。
• 具体的な作用素に理論を適用する：粗い境界を伴う領域上のラプラシアン、混合境界値問題、無限個の点相互作用を伴うディラック作用素およびシュレーディンガー作用素。明示的な境界三つ組とヴェイユ関数を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された境界三つ組のヴェイユ関数 $M(\cdot)$ が、$\mathcal{R}(\mathcal{H})$ や $\widetilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$ に属するネバリンナ族であるための条件は何か？
• RQ2 二次形式 $\tau_{M(z)}(f,g) = (2i\,{\rm Im\,}z)^{-1}[(M(z)f,g) - (f,M(z)g)]$ が $\mathcal{H}$ 上で閉包可能であるための条件は何か？また、その閉包可能性は $z \in \mathbb{C}_\pm$ の選択に依存するか？
• RQ3 基準作用素 $A_0 = \ker \Gamma_0$ の本質的自己共役性と、ヴェイユ関数 $M(\cdot)$ の解析的性質との間には、どのような明確な関係があるか？
• RQ4 ユニタリおよび等長境界三つ組の最も一般な設定において、クレイン型の分解公式をどのように拡張できるか？
• RQ5 一般化された境界三つ組がタイプ $S$、$ES$、または $B$ であるための必要十分条件は何か？また、それらはヴェイユ関数および境界作用素の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 二次形式 $\tau_{M(z)}(f,g)$ の閉包可能性は、$z \in \mathbb{C}_\pm$ に依存せず、基準作用素 $A_0 = \ker \Gamma_0$ が本質的に自己共役であることと同値である。
• 基準作用素 $A_0$ が本質的に自己共役であれば、ヴェイユ関数 $M(\cdot)$ は $\mathcal{R}(\mathcal{H})$ 内のネバリンナ族であり、形式 $\tau_{M(z)}$ は閉包可能であり、$\mathbb{C}_\pm$ 上での正則な動き（ホロモーラフィック・モーション）に関して不変である。
• 点相互作用を伴う Gesztesy-Šeba ディラック作用素に対して、分解公式がクレイン型で与えられる：$(D_{X,\alpha} - \lambda)^{-1} = (D_0 - \lambda)^{-1} + \gamma(\lambda)(B_\alpha + Q - M(\lambda))^{-1}\gamma(\bar{\lambda})^*$ は、$\lambda \in \rho(D_{X,\alpha}) \cap \rho(D_0)$ に対して成り立つ。
• 直和による境界三つ組 $\widetilde{\Pi}$ は $ES$-一般化された境界三つ組であるが、$d_* = 0$ の場合、厳密な包含関係 $\text{dom}\,M(z) \subsetneq \widetilde{\Gamma}_0(\text{dom}\,D_{X,*})$ があるため、$S$-一般化された境界三つ組ではない。
• 転置境界三つ組 $\Pi^\top$ のヴェイユ関数は $-\widetilde{M}(\cdot)^{-1}$ であり、$\mathcal{R}^s[\mathcal{H}]$ に属するため、$\Pi^\top$ は $B$-一般化された境界三つ組である。
• 直和境界三つ組 $\widetilde{\Pi}$ に対して、ヴェイユ関数 $\widetilde{M}(z)$ は $d_n \to 0$ のとき $\widetilde{M}_n(z) \sim d_n \begin{pmatrix} z - c^2/2 & 0 \\ 0 & c^{-2}(z + c^2/2) \end{pmatrix}$ を満たし、形式の定義域は $\sum_{n=1}^\infty \frac{(\text{Im}\,K(z)h_n, h_n)}{d_n} < \infty$ を満たす $\{h_n\} \in l^2(\mathbb{N}) \otimes \mathbb{C}^2$ で特徴づけられる。