[論文レビュー] Generalized Budgeted Submodular Set Function Maximization

Francesco Cellinese, Gianlorenzo D’Angelo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、要素のコストが割り当てられたバインに依存する新たな拡張である一般化予算付き部分モジュラー集合関数最大化問題（GBSM）を導入する。予算付き部分モジュラー最適化の新たな拡張であり、バインと要素の両方のコストがグローバル予算に寄与する。著者らは、1/2(1 − 1/e^α)-近似比を達成する貪欲法を提示し、特殊ケースではα = 1 − ϵ、一般ケースではα = 1 − 1/e − ϵとなる。さらに、予算乗数β > 1を用いることで、任意に1/2に近い近似比を達成する二基準アルゴリズムに拡張する。

ABSTRACT

In this paper we consider a generalization of the well-known budgeted maximum coverage problem. We are given a ground set of elements and a set of bins. The goal is to find a subset of elements along with an associated set of bins, such that the overall cost is at most a given budget, and the profit is maximized. Each bin has its own cost and the cost of each element depends on its associated bin. The profit is measured by a monotone submodular function over the elements. We first present an algorithm that guarantees an approximation factor of $\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{e^α} ight)$, where $α\leq 1$ is the approximation factor of an algorithm for a sub-problem. We give two polynomial-time algorithms to solve this sub-problem. The first one gives us $α=1- ε$ if the costs satisfies a specific condition, which is fulfilled in several relevant cases, including the unitary costs case and the problem of maximizing a monotone submodular function under a knapsack constraint. The second one guarantees $α=1-\frac{1}{e}-ε$ for the general case. The gap between our approximation guarantees and the known inapproximability bounds is $\frac{1}{2}$. We extend our algorithm to a bi-criterion approximation algorithm in which we are allowed to spend an extra budget up to a factor $β\geq 1$ to guarantee a $\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{e^{αβ}} ight)$-approximation. If we set $β=\frac{1}α\ln \left(\frac{1}{2ε} ight)$, the algorithm achieves an approximation factor of $\frac{1}{2}-ε$, for any arbitrarily small $ε>0$.

研究の動機と目的

• 予算付き最大被覆および部分モジュラー最適化問題の新たな一般化を形式化し、その研究を進める。
• 要素コストがその割り当てられたバインに依存する条件下で、バインと要素を同時に選択する課題に取り組む。この場合、バインと要素の両方のコストが統合された予算制約に従う。
• この一般化された設定において、性能保証が保証された多項式時間近似アルゴリズムを設計する。
• 本モデルにおける既知の近似不能性の境界と達成可能な近似比の間のギャップを埋める。

提案手法

• マージナル利得対コスト比を最大化するように、未被覆の要素とその関連バインの部分集合を反復的に選択する貪欲法を提案する。
• 近似因子αを達成する部分問題ソルバを導入する。2つのバージョンを用意：特定のコスト条件（例：単位コスト、ナップサック制約）を満たす場合、α = 1 − ϵを達成する。一般ケースではα = 1 − 1/e − ϵを達成する。
• 予算制約を要因β ≥ 1で緩和することで、近似比を向上させる二基準近似フレームワークを採用する。
• 各反復で有望な要素とバインの組合せを効率的に探索するため、層状リスト構造（αリスト）を用いる。
• 部分モジュラリティとコスト比解析を適用し、理論的近似保証として1/2(1 − 1/e^α)を導出する。
• 予算制約を要因βで緩和することで、アルゴリズムを二基準版に拡張し、1/2(1 − 1/e^{αβ})-近似比を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バイン依存の要素コストを有する一般化予算付き部分モジュラー最大化問題は、定数因子の近似可能か？
• RQ2 既知の近似不能性境界を考慮した場合、この一般化モデルで達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 貪欲法は、統合コスト制約下でバインと要素の共同選択をどのように処理できるか？
• RQ4 予算緩和を用いた二基準的手法により、任意のϵ > 0 に対して近似比を1/2に近づけられるか？
• RQ5 近似比の1/2という要因は本質的であるか、部分列挙などの高度な技術により除去可能か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、部分問題ソルバの近似因子αに依存して、GBSM問題に対して1/2(1 − 1/e^α)-近似比を達成する。
• 特定のコスト条件（例：単位コスト、ナップサック制約）を満たすインスタンスのクラスでは、部分問題ソルバがα = 1 − ϵを達成し、結果として1/2(1 − 1/e^{1−ϵ})-近似比を達成する。
• 一般ケースでは、部分問題ソルバがα = 1 − 1/e − ϵを達成し、1/2(1 − 1/e^{1−1/e−ϵ})-近似比を達成する。
• 二基準アルゴリズムは、予算が要因β ≥ 1で緩和された場合、1/2(1 − 1/e^{αβ})-近似比を達成する。
• β = 1/(α ln(1/(2ϵ))) と設定することで、任意に小さなϵ > 0 に対して1/2 − ϵ近似を達成する。
• アルゴリズムの実行時間は、O(1/ϵ · m · gr(n) · log(k/ĉ)) であり、gr(n)は貪欲な最大被覆サブルーチンの実行時間である。