[論文レビュー] Optimal Streaming Algorithms for Submodular Maximization with Cardinality Constraints

Naor Alaluf, Alina Ene+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、基数制約下における非単調なサブモジュラ最大化のための単一パスストリーミングアルゴリズムを提示する。メモリ使用量は O(k/ε²) であり、閾値に基づくグリーディー過程を用いて候補集合を維持し、任意のオフラインアルゴリズムが α-近似を達成する場合、後処理により α/(1+α) − ε の近似保証が得られる。正確な後処理では 1/2 − ε の近似が達成され、最新の多項式時間アルゴリズム（α = 0.385）を用いると 0.2779-近似が得られる。

ABSTRACT

We study the problem of maximizing a non-monotone submodular function subject to a cardinality constraint in the streaming model. Our main contributions are two single-pass (semi-)streaming algorithms that use Õ(k)⋅poly(1/ε) memory, where k is the size constraint. At the end of the stream, both our algorithms post-process their data structures using any offline algorithm for submodular maximization, and obtain a solution whose approximation guarantee is α/(1+α)-ε, where α is the approximation of the offline algorithm. If we use an exact (exponential time) post-processing algorithm, this leads to 1/2-ε approximation (which is nearly optimal). If we post-process with the algorithm of [Niv Buchbinder and Moran Feldman, 2019], that achieves the state-of-the-art offline approximation guarantee of α = 0.385, we obtain 0.2779-approximation in polynomial time, improving over the previously best polynomial-time approximation of 0.1715 due to [Feldman et al., 2018]. One of our algorithms is combinatorial and enjoys fast update and overall running times. Our other algorithm is based on the multilinear extension, enjoys an improved space complexity, and can be made deterministic in some settings of interest.

研究の動機と目的

• 基数制約下における非単調サブモジュラ最大化のための最適ストリーミングアルゴリズムの欠如に対処すること。
• 従来のストリーミングアルゴリズムが多項式時間内に達成できる近似比が 1/3 + 2/√2 ≈ 0.1715 に留まることの制限を克服すること。
• 任意の既存のオフラインサブモジュラ最大化アルゴリズムを後処理に活用できるストリーミングアルゴリズムを設計し、近似保証を向上させること。
• 多項式時間と多項式メモリを用いて、ほぼ最適な近似比（1/2 − ε）を達成し、既知の近似不能性の下限と一致させること。
• 更新時間が速い決定的かつ組合せ的なアルゴリズムを設計し、非単調サブモジュラ最適化において稀な特徴を備えること。

提案手法

• 動的閾値 κ を用いた閾値ベースのグリーディー選択プロセスにより、候補集合 S1,1 を維持する単一パスストリーミング手法を採用する。
• 確率的サンプリング戦略を適用：ストリームの m = Θ(1/ε) 個の独立したサンプルを生成し、それぞれを閾値グリーディー法で処理して集合 Si,1 を形成する。
• 集合 U = ∪i Si,1 を構築し、これを利用して任意のオフラインサブモジュラ最大化アルゴリズムによる後処理を実行する。
• U をオフラインアルゴリズムで後処理し、解 T を得て、S1,1 と T のうち f 値が大きい方を返す。
• 凸拡張と集中不等式を用いて、最終解の期待値を解析し、多変数拡張と制限付きスケール不変性を活用する。
• 条件付き確率とサブモジュラ性を用いて、S1,1 に対する O′₂ の限界利得を評価し、E[f(S1,1 ∪ (O1 ∩ U))] が E[f(OPT)] に近いことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式時間と多項式メモリ（poly(k, 1/ε)）を用いて、基数制約下における非単調サブモジュラ最大化のためのストリーミングアルゴリズムが (1/2 − ε)-近似を達成できるか？
• RQ2 単一閾値グリーディー法が単調ケースで成功しているのを、非単調設定のストリーミングで適応可能か？
• RQ3 既存の高品質なオフラインサブモジュラ最大化アルゴリズムを、後処理によりストリーミングモデルで効果的に活用できるか？
• RQ4 多項式時間と多項式メモリ（poly(k, 1/ε)）を用いたストリーミングモデルにおいて、非単調サブモジュラ最大化の最適近似比は何か？
• RQ5 非単調サブモジュラ最大化のための決定的かつ組合せ的ストリーミングアルゴリズムを、更新時間が速くなるように設計できるか？

主な発見

• 提案アルゴリズムは、後処理に用いるオフラインアルゴリズムの近似比 α を用いて、α/(1+α) − ε の近似比を達成する。
• 正確（指数時間）なオフラインアルゴリズムを後処理に用いることで、1/2 − ε の近似が達成され、この問題におけるストリーミングモデルでの既知の近似不能性下限 1/2 と一致する。
• 最新の多項式時間オフラインアルゴリズム（α = 0.385）を用いると、0.2779-近似が達成され、従来の最高水準（0.1715）を上回る。
• アルゴリズムは O(k/ε²) のメモリしか使用せず、要素ごとの更新時間が O((log k + log(1/α))/ε²) と高速であり、大規模データに適している。
• アルゴリズムは決定的かつ組合せ的であり、非単調サブモジュラ最適化においては稀な特徴を有し、連続的緩和や複雑な分布に依存しない。
• 解析により、E[f(S1,1 ∪ (O1 ∩ U))] ≥ (1 − 3ε)f(OPT) − κb であり、最終解は E[max{f(S1,1), f(T)}] ≥ (α/(1+α) − 3ε)f(OPT) を満たすことが示され、主な近似保証が証明された。