[論文レビュー] Generalized Cartan Calculus in general dimension

Yi-Nan Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、d=9、7、6次元の例外的場理論における一般化カルタン計算を展開し、テンソル階層の背後にある代数的枠組みを拡張する。一般化微分作用素の零性（nilpotency）を確立し、特定の節条件解においてポincareの補題が成立することを検証し、d=9 EFTではランク5まで一貫したゲージ共変性を持つp形式の場強度を構成可能であることを示しており、作用の定式化と超対称性の拡張が可能となる。

ABSTRACT

We develop the generalized Cartan Calculus for the groups $G=$SL$(2,\mathbb{R}) imes\mathbb{R}^+$, SL$(5,\mathbb{R})$ and SO(5,5). They are the underlying algebraic structures of $d=9,7,6$ exceptional field theory, respectively. These algebraic identities are needed for the "tensor hierarchy" structure in exceptional field theory. The validity of Poincaré lemmas in this new differential geometry is also discussed. Finally we explore some possible extension of the generalized Cartan calculus beyond the exceptional series.

研究の動機と目的

• d=9、7、6次元の例外的場理論における一般化カルタン計算の枠組みを、これまで開発がなされていなかった領域に拡張すること。
• 非例外的群（標準的なE系列を超える）を有するEFTにおけるテンソル階層に必要な代数的構造を確立すること。
• 一般化微分幾何学における例外的チェーン複体の文脈で、ポincareの補題が成立するかを検証すること。
• 一般化カルタン計算を例外的系列を超えて拡張可能かどうかを検討すること。
• d=9 EFTにおける一般化リーダイバティブ、Eブラケット、節条件の明示的公式を提示し、将来の作用の構築を可能とすること。

提案手法

• 本稿は、さまざまな表現に作用するテンソル場に対して作用する、零性を持つ一般化微分作用素 $\widehat{\partial}$（$\widehat{\partial}^2 = 0$）を構成する。
• 一般化リーダイバティブ $\mathbb{L}_{\Lambda}$ は「魔法の公式」$\mathbb{L}_{\Lambda}X = \Lambda \bullet \widehat{\partial}X + \widehat{\partial}(\Lambda \bullet X)$ を用いて定義され、カルタンの公式に類似している。
• Eブラケット $[\cdot,\cdot]_E$ は、一般化微分幾何学と整合するように修正されたリーブラケットとして導入される。
• 節条件は、$Z^{ij,kl}{}_{pq,rs}$ のようなランク2の反対称テンソル構造を用いて定式化され、拡張された空間を物理的次元に還元するために解かれる。
• テンソル場の重みは、$\epsilon$-テンソルを用いたスカラー型の縮約により計算され、ゲージ共変性と整合性を保証する。
• この枠組みは、$G = \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \times \mathbb{R}^+$、$\mathrm{SL}(5,\mathbb{R})$、$\mathrm{SO}(5,5)$ の群に適用され、d=9 EFTに対して明示的な公式が導出されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化カルタン計算は、これまで開発がなされていなかったd=9例外的場理論に一貫して拡張可能か？
• RQ2 一般化微分幾何学における例外的チェーン複体において、ポincareの補題は成立するか？また、どのような条件下で成立するか？
• RQ3 d=9 EFTにおいて、ゲージ共変性を持つp形式の場強度を構築するにあたり、必要な代数的構造は何か？また、どのランクまで一貫して定義可能か？
• RQ4 一般化カルタン計算の枠組みは、例外的系列を超えて、例えば $\mathrm{SL}(M) \times \mathrm{SL}(2)$ 群へと拡張可能か？
• RQ5 $\mathrm{SL}(3) \times \mathrm{SL}(3)$ および $\mathrm{SL}(4) \times \mathrm{SL}(2)$ を基盤とするEFTの物理的次元と節条件の解は何か？また、超対称性の拡張が可能か？

主な発見

• 一般化カルタン計算は、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \times \mathbb{R}^+$、$\mathrm{SL}(5,\mathbb{R})$、$\mathrm{SO}(5,5)$ に対して明示的に構成され、それぞれd=9、7、6 EFTに対応する。
• $\widehat{\partial}$ の零性が確認され、de Rhamコホモロジーに類似したコホモロジー構造の存在が保証される。
• ポincareの補題は、節条件の特定の解においてのみ成立し、すべての解に対して普遍的に成立するわけではない。
• d=9 EFTでは、一貫したゲージ共変性を持つ5形式の場強度を構成可能であり、テンソル階層がランク5まで拡張可能である。
• $\mathrm{SL}(M) \times \mathrm{SL}(2)$ の一般化において、スカラーの重みは常に1であり、任意の $M$ に対して一貫した理論が得られる。
• 本稿は、$\mathrm{SL}(3) \times \mathrm{SL}(3)$ および $\mathrm{SL}(4) \times \mathrm{SL}(2)$ を持つ新たなEFTの可能性を同定し、それぞれ9+5次元および8+6次元に存在するが、節条件を適用した後は物理的次元が5+3次元および6+4次元または6+2次元となる。