[論文レビュー] Generalized Charges, Part I: Invertible Symmetries and Higher Representations

Lakshya Bhardwaj, Sakura Schäfer‐Nameki|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2023

Molecular spectroscopy and chirality参考文献 72被引用数 16

ひとこと要約

本論文は invertible generalized symmetries の q-charges が (q+1)-representations であるという概念を展開し、局所演算子から拡張演算子へと荷を拡張する高階カテゴリー理論を介して、0-形式および 1-形式対称性とねじれたセクターに対する明示的な扱いを提供する。

ABSTRACT

$q$-charges describe the possible actions of a generalized symmetry on $q$-dimensional operators. In Part I of this series of papers, we describe $q$-charges for invertible symmetries; while the discussion of $q$-charges for non-invertible symmetries is the topic of Part II. We argue that $q$-charges of a standard global symmetry, also known as a 0-form symmetry, correspond to the so-called $(q+1)$-representations of the 0-form symmetry group, which are natural higher-categorical generalizations of the standard notion of representations of a group. This generalizes already our understanding of possible charges under a 0-form symmetry! Just like local operators form representations of the 0-form symmetry group, higher-dimensional extended operators form higher-representations. This statement has a straightforward generalization to other invertible symmetries: $q$-charges of higher-form and higher-group symmetries are $(q+1)$-representations of the corresponding higher-groups. There is a natural extension to higher-charges of non-genuine operators (i.e. operators that are attached to higher-dimensional operators), which will be shown to be intertwiners of higher-representations. This brings into play the higher-categorical structure of higher-representations. We also discuss higher-charges of twisted sector operators (i.e. operators that appear at the boundary of topological operators of one dimension higher), including operators that appear at the boundary of condensation defects.

研究の動機と目的

• invertible symmetries の form degree（0-form、higher-form、higher-groups）全体にわたる generalized charges を動機付け・定義する。
• G^{(p)} p-form symmetry の q-charges が associated (p+1)-group の (q+1)-representations であることを示し、通常の表現を一般化する。
• 明示的な例で枠組みを説明し、 genuine および non-genuine charges の実体化のための高階カテゴリ構造を整える。
• twisted generalized charges とこれらの charges を形成する anomaly の役割を論じる。
• Part II に向けて、非可換（categorical）対称性 を扱う準備として基礎を固める。

提案手法

• 物理的に q-charges が対称性構造（群または高次群）の (q+1)-representations として生じることを主張する。
• 0-form symmetries の charges を 2-representations に関連付け、一般に高次の q は higher-representations（appendix B）を介して拡張する。
• genuine および non-genuine 演算子の層状構造を記述し、それを (q+1)-categories と射に対応づける。
• symmetry generators および condensation defects から生じる twisted sectors を twisted higher-representations（例：D_{d-1}^{(g)} 境界）を通じて解析する。
• 4d Maxwell 理論 などの例を用いて、0-form 対称性の下での 0-, 1-, および高次の charges を説明する。
• Drinfeld center への接続と Part II における non-invertible symmetry generalizations の準備を概説する。）

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 invertible symmetries の下で q 次元演算子の適切な高次カテゴリ一般化された charges は何か？
• RQ2 0-form 対称性の q-charges は G^{(0)} の (q+1)-representations とどのように関連し、一般には p-form 対称性の高次群の (p+1)-representations へどのように関連するのか？
• RQ3 twisted sectors および ’t Hooft anomaly は特に symmetry generators および condensation defects に関連する generalised charges をどのように修正するのか？
• RQ4 この高次カテゴリフレームワークにおける non-genuine charges の構造と解釈はどうなるのか？
• RQ5 Part II で Drinfeld center を介した非可換（categorical）対称性 へこれらの考えをどう拡張できるのか？

主な発見

• G^{(0)} 0-form symmetry の q-Charges はすべての q に対して G^{(0)} の (q+1)-representations であり、0-charges は通常の表現を回復する。
• 0-form symmetries の 1-charges は G^{(0)} の 2-representations であり、線演算子に作用する誘導された 0-form symmetry と、必要に応じて ’t Hooft anomaly を持つ安定化子を介して実現される。
• G^{(0)} の下での高次の q-charges は higher-representations に対応し、群表現の自然な高次カテゴリアル一般化である。
• p-form および高次群対称性の場合、q-charges は関連する (p+1)-group の (q+1)-representations であり、拡張演算子への作用とそれらの相互作用を捉える。
• Twisted generalized charges は対称性生成子と condensation defects の twisted sectors から生じ、twisted higher-representations またはそれらのホモロジー情報として記述される。
• genuine charges と non-genuine charges の層状構造は (q+1)-category フレームワークへと対応し、 charges を高次射および intertwiners に結びつける。