[論文レビュー] Generalized Chinese restaurant construction of exchangeable Gibbs partitions and related results

Annalisa Cerquetti|ArXiv.org|May 26, 2008

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、交換可能なGibbs分割のタイプαに対して一般化された中国レストラン過程を導入し、逐次的構成と一般化されたStirling数を用いて、遺伝学分野におけるベイズ非パラメトリックモデルを統一的かつ拡張的に扱う。主な貢献は、Lijoiら（2007, 2008）の結果を埋め込み・簡略化する確率的枠組みを提供することであり、特にPoisson-Kingmanモデルにおけるクラスの削除とGibbs構造の再現性の関係を明確にしている。

ABSTRACT

By resorting to sequential constructions of exchangeable random partitions (Pitman, 2006), and exploiting some known facts about generalized Stirling numbers, we derive a generalized Chinese restaurant process construction of exchangeable Gibbs partitions of type $α$ (Gnedin and Pitman, 2006). Our construction represents the natural theoretical probabilistic framework in which to embed some recent results about a Bayesian nonparametric treatment of estimation problems arising in genetic experiment under Gibbs, species sampling, models priors.

研究の動機と目的

• 交換可能なGibbs分割のタイプαを、逐次的構成を用いて統一的な確率的枠組みで提供すること。
• Lijoiら（2007, 2008）の、種のサンプリング事前分布下での遺伝的推論に関する最近のベイズ非パラメトリック結果を埋め込み・簡略化すること。
• Poisson-Kingmanモデルにおけるクラスの削除と交換可能な分割におけるGibbs構造の再現性の関係を明確にすること。
• 一般化されたStirling数と上昇階乗を活用し、交換可能な確率的分割における組合せ的導出を簡素化すること。

提案手法

• 一般化中国レストラン過程を用いた交換可能なGibbs分割の群順次的構成を導出し、特定の遷移確率に基づく顧客のテーブルへの割り当てをモデル化する。
• 上昇階乗間の接続係数として一般化されたStirling数 $ S_{n,k}^{ heta,eta} $ を用い、分割確率を表現する。
• 上昇階乗と一般化されたStirling数の乗法的および多項式的恒等式を用いて、同時分布および条件付き分布の式を簡略化する。
• 逐次的構成から導かれたEPPF（交換可能な分割確率関数）を用い、クラスの削除後の条件付き分布をモデル化する。
• Poisson-Kingmanモデルにおけるクラスの削除とGibbs構造の保存性の間の関係を、最初の $ k $ 塊を削除した後に残りの要素を再番号付けする演算子 $ \Pi_k $ を用いて確立する。
• 条件付き分割 $ \Pi_k $ のEPPFが、Lijoi ら（2008）で導出された形式と一致することを示し、新しいテーブル構成の周辺化を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交換可能なGibbs分割のタイプαを表現する一般化中国レストラン過程をどのように構築できるか？
• RQ2 一般化されたStirling数は、分割確率および条件付き分布の導出を簡素化するために果たす役割は何か？
• RQ3 Poisson-Kingmanモデルにおけるクラスの削除は、交換可能な分割におけるGibbs構造の再現性とどのように関係するか？
• RQ4 クラス削除後の条件付きEPPFを導出し、Lijoi ら（2008）の既存結果と一致させることは可能か？
• RQ5 交換可能な確率的分割において、クラス削除の操作がGibbs性を保持するのはどのような条件下か？

主な発見

• 一般化中国レストラン過程は、上昇階乗と一般化されたStirling数に基づく遷移確率を有する、交換可能なGibbs分割のタイプαの逐次的構成を提供する。
• 最初の $ k $ 個のクラスを削除した後の分割のEPPFが、Lijoi ら（2008）で導出された条件付きEPPFと一致することが示され、Gibbs構造の再現性が確認された。
• 一般化されたStirling数 $ S_{s,k^*}^{-1,-eta} $ の使用により、$ s $ 人の新しい顧客が $ k^* $ 個の新しいテーブルに割り当てられる周辺確率を簡潔に表現できる。
• 旧テーブルの顧客数が与えられた下での新しいテーブル構成の条件付き分布は、$ p({\bf s}|{\bf m,n}) = \frac{V_{n+m,k+k^*}}{\sum_{k^*=1}^s V_{n+m,k+k^*} S_{s,k^*}^{-1,-α}} \prod_{j=1}^{k^*} (1-α)_{s_j-1\uparrow} $ として導出され、Lijoi ら（2008）の命題3と一致する。
• 本稿では、Poisson-Kingmanモデルにおけるクラスの削除がGibbs形式を保存することを確立したが、これは条件付き構造が同じ指数型分布族に留まることを示唆する。ただし、Lijoi ら（2008）の補題2との明らかな矛盾があるため、さらなる検討が必要である。