[論文レビュー] Generalized Concatenated Quantum Codes

Markus Grassl, Peter W. Shor+3 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Jan 9, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、標準的な結合において基底ベクトルの代わりに内部符号の部分空間を用いることで、安定化子および非加法的量子誤り訂正符号の両方を体系的に構築する一般化結合量子符号（GCQCs）を導入する。この手法により、有限ブロック長において既知のすべての安定化子符号を上回り、漸近的には量子ハミング境界に達する、二進および非二進の単一誤り訂正非加法的符号の新規族が得られる。

ABSTRACT

We introduce the concept of generalized concatenated quantum codes. This generalized concatenation method provides a systematical way for constructing good quantum codes, both stabilizer codes and nonadditive codes. Using this method, we construct families of new single-error-correcting nonadditive quantum codes, in both binary and nonbinary cases, which not only outperform any stabilizer codes for finite block length, but also asymptotically achieve the quantum Hamming bound for large block length.

研究の動機と目的

• 高性能な量子誤り訂正符号（安定化子および非加法的符号を含む）の体系的構築法を開発すること。
• より大きなブロック長に対して非効率な既存の探索ベースの手法の限界を克服すること。
• 同じ誤り訂正能力において、安定化子符号を上回る符号次元を持つ非加法的符号を構築すること。
• これらの符号が漸近的に量子ハミング境界に達することを示すこと。これにより、既知の下界と上界の差を埋める。

提案手法

• 一般化結合では、外部符号の基底状態を内部符号の部分空間（部分符号）に置き換える。
• 内部符号は、r 個の互いに直交する部分符号に分解され、それぞれの次元は R である。これにより、得られる符号の論理次元が乗法的に増加する。
• 外部符号は、部分符号の数 r に対応するアルファベットサイズ r の量子符号として選ばれ、部分アルファベット上の部分符号を用いた古典的符号構築法によって構築される。
• 本手法は、Fact 2 を用いて、ハミング符号や非線形符号などの既知の古典的符号を活用し、より小さなアルファベット上で大きなサイズの外部符号を生成する。
• 非加法的符号の場合、内部符号は r 個の直交する部分符号の和集合として構成され、それぞれが完全な量子ハミング符号である。外部符号は、より大きな素数べきアルファベット上の古典的ハミング符号から導出される。
• 得られる GCQC のパラメータは、外部符号のパラメータと部分符号の次元の積から得られ、距離は外部符号と内部符号の距離の積によって上限が与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非加法的量子符号を体系的に構築する手法を開発でき、既存の安定化子符号を上回る性能を発揮できるか？
• RQ2 一般化結合を用いて、漸近的に量子ハミング境界に達する非加法的符号を構築できるか？
• RQ3 固定されたブロック長および誤り訂正能力において、GCQC の符号次元は安定化子符号と比べてどのように異なるか？
• RQ4 一般化結合フレームワークを、二進および非二進の両方の量子符号に対して一元的に拡張可能か？

主な発見

• 二進非加法的符号で、パラメータ ((90, 2^81.825, 3))_2 の単一誤り訂正符号が得られ、安定化子符号の上限 ((90, 2^81, 3))_2 を上回る。
• 三進符号では、パラメータ ((840, 3^831.955, 3))_3 の非加法的符号が構築され、安定化子符号の上限 ((840, 3^831, 3))_3 を上回る。
• 構築された非加法的符号は、ブロック長が大きくなるにつれて、符号サイズと量子ハミング境界の比が 1 に近づくため、漸近的に量子ハミング境界に達する。
• 本手法は、従来の数値的またはランダム探索に依存する結果とは異なり、非加法的符号を体系的に構築する最初の既知の手法である。
• 本構築法は任意の素数べき q に一般化可能であり、i > 1 かつ P > Q となるブロック長 N_si に対して、任意の安定化子符号を厳密に上回る非加法的符号族が得られる。
• 構築された符号の次元 M_si は、q^N_si / P^i ≤ M_si ≤ q^N_si / Q^i を満たし、s → ∞ のとき Q/P → 1 となるため、符号は理論的限界に近づく。