[論文レビュー] Generalized Concatenated Types of Codes for Erasure Correction

Mario Blaum, S. R. Hetzler|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Advanced Data Storage Technologies参考文献 19被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、RAIDに類似したストレージシステムにおける消去エラー訂正のための一般化連結（GC）符号、別名統合インターリーブ（II）符号を提案する。$\mathrm{GF}(2^b)$ という有限体（$2^b > n$）上でリード・ソロモン符号と分割統治方式のデコーディング戦略を活用することにより、PMDS符号に比べてはるかに小さな体サイズを実現しつつ、効率的な符号化とデコーディングを可能にする。これにより、わずかに減少した消去訂正能力を犠牲にしても、任意のパrameterセットに対して実用的であることが可能になる。

ABSTRACT

Generalized Concatenated (GC), also known as Integrated Interleaved (II) Codes, are studied from an erasure correction point of view making them useful for Redundant Arrays of Independent Disks (RAID) types of architectures combining global and local properties. The fundamental erasure-correcting properties of the codes are proven and efficient encoding and decoding algorithms are provided. Although less powerful than the recently developed PMDS codes, this implementation has the advantage of allowing generalization to any range of parameters while the size of the field is much smaller than the one required for PMDS codes.

研究の動機と目的

• ローカルおよびグローバルな冗長性の両方をバランスさせるRAIDアーキテクチャ向けの実用的な消去エラー訂正符号を開発すること。
• 既存のPMDS符号が高次元配列において特に大きな有限体を必要とすることという制限に対処すること。
• 任意の配列サイズ $m \times n$ に対して適用可能な一般化可能な符号化方式を提供すること。
• 構造化されたパリティーチェック行列と逐次的なRSデコーディングを通じて、効率的な符号化とデコーディングを実現すること。
• GC符号が、実装の単純さを重視する観点から、消去訂正能力と体サイズの間で実用的な妥協を提供することを示すこと。

提案手法

• 符号は、リード・ソロモン符号から導かれた部分行列を有するブロック行列形式のパリティーチェック行列によって定義される。
• 効率的なデコーディングを可能にするために、ガウスの消去法を用いてパリティーチェック行列の擬似三角形形式を計算する。
• 各行の消去数の降順に並べ替えられた順序で、個々のRS符号を用いて逐次的に消去を復元することでデコーディングが進行する。
• 符号化はデコーディングの特殊ケースとして実行され、事前に計算されたパリティーチェック行列により高速な計算が可能になる。
• 行の順序を変更するための置換 $\sigma$ を用い、消去数の多い順に処理されるようにすることで、デコーディング効率を最適化する。
• 体サイズは $\mathrm{GF}(2^b)$ に制限され、$2^b > n$（列数）を満たす。これはPMDS符号が要求する $mn$ に依存する体サイズに比べて顕著に小さい。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GC符号は、ローカルおよびグローバルな冗長性を併せ持つRAIDに類似したストレージシステムにおいて、消去エラー訂正に効果的に適応可能か？
• RQ2 同じ消去訂正能力を有する場合、GC符号の体サイズ要件はPMDS符号に比べてどの程度か？
• RQ3 リード・ソロモン部分符号に対する分割統治アプローチを用いて、GC符号のための効率的な符号化およびデコーディングアルゴリズムを設計可能か？
• RQ4 GC符号は、PMDS符号と比較して、消去訂正能力と体サイズの間でどのようなトレードオフを示すか？
• RQ5 GC符号は、性能が予測可能である限り、任意の $m \times n$ 配列構成に一般化可能か？

主な発見

• 提案されたGC符号は、各行およびグローバルな消去数が符号の設計限界を超えない限り、任意の $m \times n$ 配列構成に対して完全な消去訂正能力を達成する。
• 必要な有限体サイズは $\mathrm{GF}(2^b)$ で $2^b > n$ であり、これはPMDS符号が要請する $\mathrm{GF}(2^{mn})$ に比べて顕著に小さい。
• デコーディングアルゴリズムは、消去数の多い順に各行を処理し、各ステップで個々のリード・ソロモンデコーディングを適用することで、一度に全系を解くのと比べて顕著な高速化を実現する。
• 符号化は、事前に計算された擬似三角形パリティーチェック行列を用いた逆方向のデコーディング処理として、効率的に実装される。
• パリティが一様でない位置に配置されていても、消去パターンが符号の訂正能力内にある限り、正しさと効率性が保たれる。
• 基本定理（定理2.1）により正当性が証明されており、これは符号が行単位およびグローバルな制約を満たす任意の消去パターンを訂正可能であることを確立している。