[論文レビュー] Generalized Dehn Functions I

Chad Groft|ArXiv.org|Jan 15, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、コンパクトな境界付き多様体から有限CW複体またはコンパクトなリプシッツ近傍リトラクトの普遍被覆への写像について、三角形分割されたCLNRを含む条件下で、測度的および細胞的等周的プロファイルの同値性を確立する。主な結果は、q ≥ 2 に対する一般化されたデーン関数が、特定の K(G,1) 複体の選択に依存せず、q連結な写像による複体間で等価であるという、基本群のクアイジアイソメトリック不変量であることを示している。

ABSTRACT

Let X be a finite CW complex or compact Lipschitz neighborhood retract with universal cover Z; let M be a compact orientable manifold of dimension at least 2 and nonempty boundary. We establish the existence of an isoperimetric profile for functions from M to Z, in the metric and cellular senses, and show that they are equivalent up to scaling factors when X is a triangulated CLNR (for example a triangulated Riemannian manifold). This seems to be most interesting when X is highly connected, but this is not required. We also show that two finite complexes X and Y have the same profiles up to scaling given the existence of a sufficiently connected map between them.

研究の動機と目的

• 有限CW複体の普遍被覆における q 次元の充填問題の測度的および細胞的等周的プロファイルの存在および同値性を確立すること。
• q ≥ 2 に対する一般化されたデーン関数が、K(G,1) 複体の選択に依存せず、基本群のクアイジアイソメトリック不変量であることを示すこと。
• 境界付き多様体から普遍被覆への写像の充填体積を用いて、古典的デーン関数の高次元への一般化を試みること。
• 有限複体間の q 連結写像が、スケーリングに関して一般化されたデーン関数を等価にすることを証明し、古典的デーン関数のクアイジアイソメトリー下での同値性を一般化すること。

提案手法

• q 次元デーン関数 Φ_cell^X,M を、Vol(ω) ≤ n を満たす適切な写像 ω: ∂M → X^(q) の充填体積の上限として定義する。
• q 連結な (X,A) に対して、細胞ホモトピーの上昇性とホモトピーの持ち上げにおける体積の上限を用いて、X と A 間の充填体積を比較する。
• セル上のホモトピーおよび写像の制限の最大体積から得られる体積定数 K と L を用いて、ω, ω′, ω′′ の充填体積に関する不等式の鎖を確立する。
• Φ_cell^X,M ≲ Φ_cell^A,M および Φ_cell^A,M ≲ Φ_cell^X,M を証明し、スケーリングに関して準同値性を導く。
• コンパクト多様体にリーマン的またはピecewise リーマン的構造を導入することで、測度的設定への応用を行い、測度的および細胞的プロファイルの同値性を示す。
• 三角形分割された CLNR（例えば、リーマン多様体）では、測度的および細胞的等周的プロファイルがスケーリング係数の範囲で等価であることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限CW複体の普遍被覆における q 次元充填問題の測度的および細胞的等周的プロファイルは同値か？
• RQ2 q ≥ 2 に対する一般化されたデーン関数は、クアイジアイソメトリック同値性の範囲で、基本群にのみ依存するか？
• RQ3 2つの有限複体に q 連結な写像が存在する場合、どのような条件下でそれらの一般化されたデーン関数が等価になるか？
• RQ4 普遍被覆の大規模幾何学的性質は、一般化されたデーン関数によって、基本群のみで完全に記述可能か？

主な発見

• 底空間が三角形分割された CLNR（例えば、リーマン多様体）である場合、q ≥ 2 に対して測度的および細胞的等周的プロファイルはスケーリング係数の範囲で等価である。
• 任意の2つの有限複体 X と Y が q 連結な写像で結ばれているとき、それらの一般化されたデーン関数はクアイジアイソメトリックに同値である。すなわち、Φ_cell^X,M ≲ Φ_cell^Y,M およびその逆も成り立つ。
• q 次元デーン関数は、K(G,1) 複体の選択に依存せず、クアイジアイソメトリック同値性の範囲で不変である。これは q=2 の古典的結果の一般化である。
• 群 G の一般化されたデーン関数は、π₁(M) = G を満たすコンパクト多様体 M の普遍被覆における (q−1) 次元球面または境界付き多様体の充填体積の等周関数と等価である。
• 証明により、Φ_cell^X,M(n) ≤ Φ_cell^A,M(Ln) + Kn および Φ_cell^A,M(n) ≤ KΦ_cell^X,M(n) が成り立つことが示され、スケーリングに関して準同値性が導かれる。
• この結果は、Gromovの予想を裏付けるものであり、普遍被覆の大規模幾何学的性質が、q 連結性の条件下で基本群と一般化されたデーン関数を通じてのみ依存することを確認している。