[論文レビュー] Generalized dendrifom algebras and typed binary trees

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、型集合 Ω 上の四つの演算を用いたタイプ付き二分木上の一般化非結合的代数的構造、Ω-ドンドリフム代数を導入する。これはマッチングおよびファミリードンドリフム代数を統一・拡張するものである。このような構造が、四つの公理を満たす拡張された二重代数的半群（EDS）から生じることを確立し、タイプ付き木およびタイプ付き語上の自由代数を構成し、関連するオペラッドのコスズル双対性を証明するとともに、ドンドリフム双代数構造を可能にする明示的なコプロダクトを提供する。

ABSTRACT

We here both unify and generalize nonassociative structures on typed binary trees, that is to say plane binary trees which edges are decorated by elements of a set $Ω$. We prove that we obtain such a structure, called an $Ω$-dendriform structure, if $Ω$ has four products satisfying certain axioms (EDS axioms), including the axioms of a diassociative semigroup. This includes matching dendriform algebras introduced by Zhang, Gao and Guo and family dendriform algebras associated to a semigroup introduced by Zhang, Gao and Manchon , and of course dendriform algebras when $Ω$ is reduced to a single element. We also give examples of EDS, including all the EDS of cardinality two; a combinatorial description of the products of such a structure on typed binary trees, but also on words; a study of the Koszul dual of the associated operads; and considerations on the existence of a coproduct, in order to obtain dendriform bialgebras.

研究の動機と目的

• タイプ付き二分木上のマッチングおよびファミリードンドリフム代数といった既存のドンドリフム型代数を統一・一般化するため、タイプ付き二分木上のより広い非結合的代数的構造のクラスを導入すること。
• 型集合 Ω 上の四つの演算を用いて Ω-ドンドリフム代数を定義し、新しい公理（EDS公理）を満たすようにする。この公理には、二重代数的半群構造が含まれる。
• タイプ付き二分木およびタイプ付き語上の自由 Ω-ドンドリフム代数を構成し、Loday-Ronco の未タイプ化木に対する構成を一般化すること。
• Ω-ドンドリフム代数を記述するオペラッドのコスズル双対を研究し、タイプ付き設定へのホモロジカル代数の道具の拡張を行うこと。
• タイプ付き木および語上のコプロダクトの存在を調査し、ドンドリフム双代数構造を導出し、これらのコプロダクトの組合せ的記述を提供すること。

提案手法

• 拡張された二重代数的半群（EDS）を、四つの二項演算 Ð, Ñ, Ÿ, Ź を備えた集合 Ω として定義し、二重代数的半群構造を含む特定の公理を満たすようにする。
• ベクトル空間に Ω で添字づけられた積 ăα, ąα を備えた Ω-ドンドリフム代数を定義し、Ω 上の四つの演算を含む三つの公理を満たすようにする。
• 一つの生成元上の自由 Ω-ドンドリフム代数が、Ω-タイプ付き平面二分木で張られるベクトル空間上に実現され、木の分解を用いた帰納的定義によって積が定義されることを証明する。
• 自由 Ω-ドンドリフム代数を木からタイプ付き語上のシャッフル型代数への準同型を用いて、タイプ付き語へと拡張する。
• アドミッサブルなカットを定義し、Ω 上の四つの演算を用いて再帰的に計算することで、Ω-タイプ付き木上のコプロダクトの組合せ的記述を提供する。
• ドンドリフム積とコプロダクトの整合性を用いて、コプロダクトが適切に定義されており、ドンドリフム双代数公理を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マッチングおよびファミリードンドリフム代数を、一つの代数的枠組みで統一するにはどうすればよいか？
• RQ2 型集合 Ω 上の四つの演算が、タイプ付き二分木上で一貫した Ω-ドンドリフム代数構造を誘導するためには、どのような公理を満たすべきか？
• RQ3 一つの生成元上の自由 Ω-ドンドリフム代数の構造は何か？ これは Loday-Ronco の構成をどのように一般化するか？
• RQ4 Ω-ドンドリフム代数を記述するオペラッドのコスズル双対は何か？ そして、元のオペラッドとどのように関係するか？
• RQ5 どのような条件下で、Ω-タイプ付き木および語上にコプロダクトが存在するか？ そして、その組合せ的記述はどのように明示的に与えられるか？

主な発見

• 本稿では、Ω-ドンドリフム代数が、EDS公理を満たす Ω 上の四つの演算によって定義され、マッチングおよびファミリードンドリフム代数の両方を一般化していることが確立された。
• 一つの生成元上の自由 Ω-ドンドリフム代数は、Ω-タイプ付き平面二分木で張られるベクトル空間上に実現され、木の分解を用いた帰納的定義によって積が定義される。
• 非退化的可換 EDS に対して、双代数 KΩbSh+Ω(V) 内のタイプ付き語上のコプロダクトは、カットの和として与えられ、係数は演算 ð, đ, Ð, Ź によって決定される。
• Ω-タイプ付き木上のコプロダクトは、アドミッサブルなカットを用いて明示的に記述され、各カットが木を左および右の成分に分解し、Ω 上の四つの演算を再帰的に用いてコプロダクトが計算される。
• コプロダクトは、任意のアドミッサブルなカット c に対して ιc(α ⊗ R_c(T)) = α ⊗ R_c(T) を満たすことが示され、ドンドリフム構造と整合することが証明された。
• Ω が二項演算 ‹ に関して群であるとき、木上のコプロダクトは T_e(α₀) = α₀‹⋯‹α_k ⊗ T_e の形を取り、タイプへの群作用を一般化する。