[論文レビュー] Generalized Euler, Smoluchowski and Schr\\"odinger equations admitting self-similar solutions with a Tsallis invariant profile

Pierre-Henri Chavanis|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2019

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 87被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、非線形運動項（$q$ で添え字付けられる）とべき則非線形性（$\gamma$ で添え字付けられる）を導入することで、オイラー方程式、スモリコフスキー方程式、シュレーディンガー方程式を一般化し、ツァリス不変的プロファイルを持つ自己相似解を可能にする。主な結果は、$q$-依存のヴォン・ヴァイツェッカー項と $\gamma$-依存のツァリス関数を含む一般化された自由エネルギー関数 functional に対する $H$-定理であり、$q=\gamma=1$ で標準的量子力学および熱力学理論が回復される。一般化されたシュレーディンガー方程式は、$q=2\gamma-1$ のとき、正確な自己相似解を有する。このモデルは、非拡張的統計力学の枠組みにおいて、一般化された量子力学と熱力学を統合する。

ABSTRACT

The damped isothermal Euler equations, the Smoluchowski equation and the damped logarithmic Schr\\"odinger equation with a harmonic potential admit stationary and self-similar solutions with a Gaussian profile. They satisfy an $H$-theorem for a free energy functional involving the von Weizs\\"acker functional and the Boltzmann functional. We derive generalized forms of these equations in order to obtain stationary and self-similar solutions with a Tsallis profile. In particular, we introduce a nonlinear Schr\\"odinger equation involving a generalized kinetic term characterized by an index $q$ and a power-law nonlinearity characterized by an index $\\gamma$. We derive an $H$-theorem satisfied by a generalized free energy functional involving a generalized von Weizs\\"acker functional (associated with $q$) and a Tsallis functional (associated with $\\gamma$). This leads to a notion of generalized quantum mechanics and generalized thermodynamics. When $q=2\\gamma-1$, our nonlinear Schr\\"odinger equation admits an exact self-similar solution with a Tsallis invariant profile. Standard quantum mechanics (Schr\\"odinger) and standard thermodynamics (Boltzmann) are recovered for $q=\\gamma=1$.

研究の動機と目的

• 標準的な流体力学的および量子力学的方程式を一般化し、ツァリス不変的プロファイルを持つ自己相似解を許容するように拡張すること。これにより、標準的熱力学および量子力学が一般化される。
• $q$-依存の一般化されたヴォン・ヴァイツェッカー項と $\gamma$-依存のツァリス関数を含む一般化された自由エネルギー関数 functional を導出すること。
• 一般化された自由エネルギーに対する $H$-定理を確立し、ツァリス分布に従う平衡状態への緩和を保証すること。
• 非拡張的統計力学の枠組みを用いて、非線形シュレーディンガー方程式およびオイラー型方程式を用いて、一般化された量子力学と熱力学を統合すること。
• 正確な自己相似解がツァリスプロファイルを有するようになる条件 $q=2\gamma-1$ を特定すること。

提案手法

• $q$-依存の運動項と $\gamma$-依存のべき則非線形性を有する一般化された非線形シュレーディンガー方程式を導入する。
• マデルング変換を適用して、一般化された量子流体力学方程式（減衰付き多変則的オイラー方程式）に変換する。
• 一般化された自由エネルギー関数 functional を導出し、$q$-一般化されたヴォン・ヴァイツェッカー関数と $\gamma$-一般化されたツァリス関数を組み合わせる。
• 密度 $\rho$、$\nabla\rho$、$\Delta\rho$、$\partial_{ij}\rho$ を含む変分アンザッツから一般化された圧力テンソル $P_{ij}^g$ を構築し、流体力学的方程式と整合性を持つように係数を決定する。
• ツァリス不変的プロファイルを持つ正確な自己相似解の存在を保証するために、条件 $q=2\gamma-1$ を課す。
• 一般化された枠組みの極限として、標準的量子力学（$q=\gamma=1$）および標準的熱力学が回復されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 減衰付き等温オイラー方程式、スモリコフスキー方程式、シュレーディンガー方程式は、ツァリス不変的プロファイルを持つ自己相似解を許容するように一般化可能か？
• RQ2 $q$-一般化されたヴォン・ヴァイツェッカー項と $\gamma$-一般化されたツァリス関数を含む系に対して、$H$-定理を支える一般化された自由エネルギー関数 functional は何か？
• RQ3 一般化された非線形シュレーディンガー方程式がツァリスプロファイルを持つ正確な自己相似解を有するための $q$ と $\gamma$ の条件は何か？
• RQ4 $\gamma \neq 1$ のとき、一般化された量子圧力テンソルは標準的量子圧力テンソルとどのように異なるか？
• RQ5 非線形流体力学的方程式の文脈において、一般化された量子力学と一般化された熱力学の間の正式な関係は何か？

主な発見

• 一般化された非線形シュレーディンガー方程式は、$q = 2\gamma - 1$ のとき、ツァリス不変的プロファイルを持つ正確な自己相似解を有し、標準的量子力学のガウス解を拡張する。
• 一般化された自由エネルギー関数 functional には、$q$-依存の一般化されたヴォン・ヴァイツェッカー項と $\gamma$-依存のツァリス関数が含まれ、$H$-定理を満たし、平衡状態への緩和を保証する。
• $\gamma \neq 1$ のとき、一般化された圧力テンソル $P_{ij}^g$ には、標準的量子圧力テンソルに存在しない新しい項が含まれる。具体的には、$P_{ij}^g$ の式における $C \neq 0$ の項がその例である。
• $\gamma = 1$ のとき、一般化された圧力テンソルは標準的量子圧力テンソルに簡略化され、モデルは標準的量子力学およびボルツマン熱力学を回復する。
• 異なる $k$ の値を選択することで、一般化された圧力テンソルを3通りの異なる形で導出でき、$\gamma = 1$ のとき、$P_{ij}^{(1)}$、$P_{ij}^{(2)}$、および対称形など既知の標準的形に還元される。一般化された圧力テンソルは $\rho_0^{2-2\gamma}$ に比例し、ツァリスプロファイルのスケーリングを反映している。
• 系のサイズの時間発展方程式は、宇宙論におけるフレリッドマン方程式と形式的に類似しており、自己相似流体的崩壊と宇宙膨張の間の深い構造的類似性を示唆している。