[論文レビュー] Generalized Haah Codes and Fracton Models

Kevin Tian, Zhenghan Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2019

Quantum many-body systems参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有限群上のフラクチオン模型に対して一般化された安定化子コード枠組みを導入し、Haah A-およびB-コードを有限群 $G$ の多重部分集合と $q \times q$ 実数行列を用いて、1サイトあたり $2q$ ディジットに拡張する。この構成により、特異な任意子励起と非自明なトポロジカル縮退を示す局所的安定化子ハミルトニアンが得られ、既知のフラクチオン模型を一般化するとともに、自己エネルギー還元群フローの挙動といった重要な特徴を保持する。

ABSTRACT

Entanglement renormalization group flow of the Haah cubic code produces another fracton model with 4 qubits per lattice site, dubbed as the Haah B-code. We provide a schema that generalizes both models to stabilizer codes on any finite group with 2q qubits per site and labeled by multi-subsets of the finite group and a symmetric binary matrix.

研究の動機と目的

• 任意の $q \geq 1$ に対して、1格子サイトあたり $2q$ ディジットを持つ、Haah AコードおよびBコードのより広いクラスの安定化子コードに一般化すること。
• 元の立方格子コードの安定化子構造を、有限群 $G$ に一般化し、$G$ の多重部分集合と $\mathbb{F}_2$-行列を用いること。
• 格子空間 $L(G, 2q)$ 上の局所的ハミルトニアンを構成し、元のモデルのフラクチオン的性質と準次元励起を保つこと。
• 一般化モデルにおける共鳴的縮退スケーリングおよび非自明な量子もつれ還元群（ERG）フローの可能性を調査すること。
• Haahコードおよびその類縁であるHaah Bコードを一般化する、有限群上での安定化子コードを体系的に構築するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 各群元 $g \in G$ あたり $2q$ ディジットを持つヒルベルト空間 $L(G, 2q)$ を定義し、インデックスは $+1,\dots,+q$ および $-1,\dots,-q$ とする。
• 群 $G$ の2つの $q$ 個の部分集合族 $A = \{A_i\}, B = \{B_j\}$ と、$\mathbb{F}_2$ 上の $q \times q$ 行列 $C$ を用いて、$X$ および $Z$ の安定化子を構成する。
• $Z^C_g = \prod_{k=1}^q Z_{(g(CA)_k, +k)} Z_{((C^T B)_k g, -k)}$ および $X^C_g = \prod_{k=1}^q X_{(\overline{(C^T B)_k} g, +k)} X_{(g \overline{(CA)_k}, -k)}$ を定義する。
• 逆元を含む部分集合 $L, R \subset G$ を用いて、$G$ 上にLR語距離を導入し、$d(g,h)$ を $g$ と $h$ を結ぶために必要な左および右乗算の最小数として定義する。
• 得られたハミルトニアンがこの距離の下で半径1の球上に支持されることを証明し、局所性を保証する。
• パウリ演算子を $d$ 次元の時計演算子 $U, V$ とシフト演算子に置き換えることで、クーディット系への一般化を図る。ここで $UV = \omega_d VU$ であり、$\omega_d = e^{2\pi i/d}$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Haah A-およびB-コードは、任意の $q \geq 1$ に対して、1サイトあたり $2q$ ディジットを持つモデルにどのように一般化できるか？
• RQ2 有限群 $G$ および $G$ の多重部分集合が、フラクチオン的性質を持つ安定化子コードの構築において果たす役割は何か？
• RQ3 $G$ 上の修正された語距離の下でも、一般化されたハミルトニアンの局所性を保てるか？
• RQ4 一般化モデルにおけるトポロジカル縮退の性質は何か？また、共鳴的スケーリング効果がそれに影響を与えるか？
• RQ5 一般化モデルは、元のHaahコードで観察された量子もつれ還元群（ERG）フローの挙動を継承するか？

主な発見

• 一般化された安定化子コードは、1サイトあたり $2q$ ディジットを用い、そのうち $q$ 個を「上層」とし、$q$ 個を「下層」として二層構造を持つ。
• $X$ および $Z$ の安定化子は、群元の $\mathbb{F}_2$-線形結合により定義され、$Z^C_g$ および $X^C_g$ は左乗算および右乗算の集合を用いて上層および下層のディジットに作用する。
• 得られたハミルトニアンは、LR語距離の下で局所的であり、半径1の球上に支持されるため、物理的実現可能性が保証される。
• $q=1$ の場合、構成はLRコードに還元される。$q=2$ の場合、適切な $A_i, B_j, C$ の選択により、Haah A-およびB-コードが再現される。
• 一般化モデルにおける縮退パターンは、部分群構造と格子サイズが一致する場合、共鳴的スケーリングを示す可能性があり、LRコードとの類似性から示唆される。
• 初期の数値的証拠から、元のHaahモデルの脱もつれユニタリ変換が、一般化において普遍的に成立しないことが示唆され、元のコードがERGフローにおいて特別な役割を果たす可能性がある。