[論文レビュー] Generalized homology and Atiyah-Hirzebruch spectral sequence in crystalline symmetry protected topological phenomena

Ken Shiozaki, Charles Zhaoxi Xiong+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 100被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、結晶対称性を有する対称性保護型トポロジカル（SPT）相を分類するための等長一般ホモロジー理論 $ h^{G}_{n}(X) $ を提案する。この理論は、アティヤ＝ヒルツブルッハスペクトル系列を通じて、積層構成、高次元SPT、リーブ＝シュルツ＝マチスの定理といった概念を統一する。このフレームワークは自由フェルミオン系および相互作用系の両方に適用可能であり、スペクトル系列の計算を通じて異常や端状態を捉えたトポロジカル分類を提供する。奇数の $ N $ に対しては $ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) \cong \bbZ_N $、偶数の $ N $ に対しては $ \bbZ_{2N} $ が得られる。

ABSTRACT

We propose that symmetry protected topological (SPT) phases with crystalline symmetry are formulated by equivariant generalized homologies $h^G_n(X)$ over a real space manifold $X$ with $G$ a crystalline symmetry group. The Atiyah-Hirzebruch spectral sequence unifies various notions in crystalline SPT phases such as the layer construction, higher-order SPT phases and Lieb-Schultz-Mattis type theorems. Our formulation is applicable to interacting systems with onsite and crystalline symmetries as well as free fermions.

研究の動機と目的

• 結晶対称性保護型トポロジカル（SPT）相を等長一般ホモロジーを用いて統一的なトポロジカルフレームワークで分類すること。
• 積層構成、高次元SPT、リーブ＝シュルツ＝マチスの定理といった、結晶SPTにおける異なる概念を、一つの数学的構造に統合すること。
• 自由フェルミオンに限らない、任意の局所対称性および結晶対称性を持つ相互作用系に対しても分類を拡張すること。
• アティヤ＝ヒルツブルッハスペクトル系列が、空間次元および端状態の局在化に基づいたSPT相のフィルトレーション構造を捉えられることを示すこと。
• cohomology群 $ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) $ の体系的計算を行い、$ N $ の偶奇に依存する性質を明らかにすること。

提案手法

• 結晶対称性群 $ G $ と実空間多様体 $ X $ を用いて、結晶SPT相の分類を等長一般ホモロジー理論 $ h^{G}_{n}(X) $ として定式化する。
• アティヤ＝ヒルツブルッフスペクトル系列（AHSS）を用いて一般ホモロジー群を計算し、Eilenberg-MacLane空間 $ K(\bbZ_N,2) $ を含むファイブレーションに対してLeray-Serreスペクトル系列を適用する。
• スペクトル系列 $ E_2^{p,q} = H^p(BG; h^q(\text{pt})) \Rightarrow h^{p+q}(BG) $ を用いて $ H^n(K(\bbZ_N,2);\bbZ) $ を計算し、$ d_3 $ や $ d_5 $ といった微分を追跡する。
• 普遍係数定理および Künneth 公式を用いて、$ \bbZ $-係数コホモロジーと $ \bbZ_2 $-コホモロジーを関連づけ、特に $ N $ が偶数の場合に有効に活用する。
• $ H^*(K(\bbZ_{2^f},2);\bbZ_2) \cong \bbZ_2[w_2,w_3,w_5,w_9,\dots] $ の構造を活用して、コホモロジー群の torsion を計算する。
• $ \mathrm{Ext}(\bbZ_2,\bbZ_N) \cong \bbZ_2 $ を用いて拡張の分類を導出し、$ N $ が偶数の場合の $ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) $ を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般ホモロジー理論を用いて、結晶SPT相をどのように体系的に分類できるか？
• RQ2 アティヤ＝ヒルツブルッフスペクトル系列は、積層構成、高次元SPT、リーブ＝シュルツ＝マチスの定理をどのように統一するか？
• RQ3 等長一般ホモロジー $ h^{G}_{n}(X) $ は、結晶対称性を有する相互作用系のトポロジカル不変量をどのように捉えているか？
• RQ4 AHSSにおける微分、たとえば $ d_3 $ や $ d_5 $ は、$ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) $ のようなコホモロジー群の構造をどのように決定するか？
• RQ5 正確に $ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) $ の分類は何か？また、その値は $ N $ の偶奇にどのように依存するか？

主な発見

• 結晶SPT相の分類は、等長一般ホモロジー $ h^{G}_{n}(X) $ によって与えられ、この理論が多様なトポロジカル現象を一つの枠組みで統一する。
• アティヤ＝ヒルツブルッフスペクトル系列は、フィルトレーション $ 0 \subset F_0 h_n^G \subset \cdots \subset F_d h_n^G = h_n^G(X) $ を提供し、商 $ F_p h_n^G / F_{p-1} h_n^G $ は $ (d-p+1) $ 次元の高次元SPT相を分類する。
• 奇数の $ N $ に対しては $ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) \cong \bbZ_N $、偶数の $ N $ に対しては $ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) \cong \bbZ_{2N} $ であり、後者は $ \mathrm{Ext}(\bbZ_2,\bbZ_N) \cong \bbZ_2 $ によって分類される非自明な拡張に起因する。
• スペクトル系列の計算により、奇数の $ N $ に対しては $ d_3: E_3^{0,4} \to E_3^{3,2} $ が同型であり、$ E_\infty^{5,0} = 0 $ となる。一方、偶数の $ N $ に対しては $ E_5^{0,4} \cong \bbZ_2 $ を消去するために $ d_5 $ が全単射でなければならない。
• $ H^6(K(\bbZ_N,2);\bbZ) $ は奇数の $ N $ に対しては消え、偶数の $ N $ に対しては $ \bbZ_2 $ に同型であり、スペクトル系列における torsion 構造を反映している。
• 偶数の $ N $ に対しては $ H^5(K(\bbZ_N,2);\bbZ) \cong \bbZ_{2N} $ が、Künneth 公式および $ K(\bbZ_{2^f},2) $ の $ \bbZ_2 $-コホモロジーを用いて導出され、スペクトル系列における $ w_d $ 生成子の役割が確認される。