[論文レビュー] Generalized KP Hierarchy for Several Variables

Francisco J. Plaza Martín|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2000

Polynomial and algebraic computation参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、SatoのGrassmannian枠組みを用いてKP階層を複数変数へ一般化し、波動関数と無限次元Grassmannian内の点との間に1対1対応を確立する。代数幾何的データから有限ギャップ代数的解を構成する手法を導入し、Krichever写像を高次元へ拡張する。

ABSTRACT

Following the techniques of M. Sato (see \cite{Sa}), a generalization of the KP hierarchy for more than one variable is proposed. An approach to the classification of solutions and a method to construct algebraic solutions is also offered.

研究の動機と目的

• 古典的KP階層をSatoのアプローチを用いて複数変数へ拡張すること。
• 解の分類と代数的解の構成を1つの枠組みで統一すること。
• 高次元代数的多様体へKrichever写像を一般化すること。
• 多変数設定における有限ギャップ解を体系的に生成する方法を提供すること。
• N次元スキーム上の因子や局所環などの代数幾何的データとの関係を調査すること。

提案手法

• 係数体として反復ローラン級数環を用いるN変数の擬微分作用素を用いる。
• KP(N)階層を可換作用素 $ L_i $ 及びその正部分を含むLax系として定義する。
• 波動関数 $ \omega_U(t,x) $ を時間変数 $ t_\alpha $ と空間変数 $ x $ に関する形式的振動関数として定義する。
• 波動関数と無限次元Grassmannian $ \mathrm{Gr}(V) $ 内の点との間に1対1対応を確立し、Satoの分類を一般化する。
• 代数幾何的データ（正則なN次元スキーム $ X $、点 $ p $、局所座標 $ \alpha $、順序付きWeil因子 $ \{Y_1, \dots, Y_N\} $）からKrichever型写像を用いて解を構成する。
• 非負の付値を持つ切断としての解空間 $ A_{\mathfrak{X}} $ を定義し、これが $ \mathrm{Gr}(V) $ に含まれ、有限ギャップ解を導くことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sato-Grassmannian構造を保ちつつ、KP階層をN変数へ一般化する方法は何か？
• RQ2 多変数の場合における波動関数とGrassmannian内の点との正確な対応関係は何か？
• RQ3 代数幾何的データからKP(N)階層の有限ギャップ解を体系的に構成できるか？
• RQ4 この枠組みにおいて、Krichever写像は高次元多様体へどのように拡張されるか？
• RQ5 N > 1の場合におけるGrassmannianに作用する群の対称性および中心拡大は何か？

主な発見

• KP(N)階層は、可換作用素 $ L_i $ 及びその正部分を含むLax系として定式化され、それらの適合条件を満たす。
• 波動関数と無限次元Grassmannian $ \mathrm{Gr}(V) $ 内の点との間に1対1対応が存在し、Satoの分類を一般化する。
• 波動関数 $ \omega_U(t,x) $ は、微分方程式系の適合条件としてKP階層を満たす。
• 有限ギャップ解は、代数幾何的データ $ \mathfrak{X} = (X,p,\alpha,\{Y_1,\dots,Y_N\}) $ から構成され、$ A_{\mathfrak{X}} $ は非負の付値を持つ切断の部分空間である。
• 解空間 $ A_{\mathfrak{X}} $ は $ \mathrm{Gr}(V) $ に含まれ、その波動関数はKP(N)階層の有限ギャップ解である。
• 局所環 $ \widehat{\mathcal{O}}_{X,p} \simeq \mathbb{C}[[x_1,\dots,x_N]] $ の自己同型のリー代数は、$ N > 1 $ の場合、非自明な中心拡大をもたない。これは $ N=1 $ の場合とは異なる。