[論文レビュー] Generalized Lagrange Transforms: Finsler Geometry Methods and Deformation Quantization of Gravity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Jul 11, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 17被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、接束や高次元空間に上昇された計量を備えた一般化ラグランジュ模型および重力理論に対して、フィンスラー幾何学と非線形接続構造を用いて、ほぼケーラー幾何を構築し、フェドソフ型の変形量子化フレームワークを提案する。主な貢献は、非ホロノミックおよび自己相似変形のもとでも幾何的整合性を保つ体系的な量子化手順であり、特に関連する量子星積の特徴類 $ c_0(\ast) = -(1/2i)\ ^{\mathcal{L}}\varepsilon $ の明示的計算により、量子星積と誘導された標準接続の曲率を結びつける。

ABSTRACT

We propose a natural Fedosov type quantization of generalized Lagrange models and gravity theories with metrics lifted on tangent bundle, or extended to higher dimension, following some stated geometric/ physical conditions (for instance, nonholonomic and/or conformal transforms to some physically important metrics or mapping into a gauge model). Such generalized Lagrange transforms define canonical nonlinear connection, metric and linear connection structures and model almost Kahler geometries with induced canonical symplectic structure and compatible affine connection. The constructions are possible due to a synthesis of the nonlinear connection formalism developed in Finsler and Lagrange geometries and deformation quantization methods.

研究の動機と目的

• 接束や高次元空間に定義された計量を備えた一般化ラグランジュおよびフィンスラー重力模型の変形量子化形式を構築すること。
• 半リーマン、アインシュタイン、またはフィンスラー計量の非ホロノミックまたは自己相似変形によって誘導される有効ラグランジュ空間に、フェドソフ量子化を拡張すること。
• ほぼケーラー模型における曲率やチャーン類などの幾何的不変量と量子星積の間の標準的関係を確立すること。
• 非ホロノミックおよび高次元的効果を考慮した量子化と幾何的整合性を保つために、非線形接続形式を用いて標準的シンプレクティックおよびアフィン構造を構築すること。

提案手法

• フィンスラー幾何学およびラグランジュ幾何における非線形接続形式を用いて、接束 $ TM $ や高次元多様体 $ \mathbf{V}^{n+m} $ 上に標準的構造を定義する。
• 有効ラグランジアン $ \mathcal{L} $ から誘導される正則な有効ラグランジュ計量に基づき、誘導されたシンプレクティック形式 $ \ ^{\mathcal{L}}\theta $ と適合するアフィン接続を備えたほぼケーラー幾何を構築する。
• フェドソフの方法を適用し、$ \mathbf{V}^{2n} $ 上の滑らかな関数の代数上で有効フェドソフ作用素と星積 $ \ast $ を定義し、ポisson括弧を用いた正規化を行う。
• 特徴類 $ c_0(\ast) $ を、閉じた2形式 $ \ ^{\mathcal{L}}\varkappa $ のコhomology類として導出し、これは標準的d接続 $ \ ^{\mathcal{L}}\widehat{\mathbf{D}} $ の曲率およびねじれ成分から明示的に計算される。
• N-適応複素化接束のチャーン＝ヴェイル形式を用いて、標準的チャーン類 $ \ ^{\mathcal{L}}\varepsilon $ を計算し、量子特徴類と関連付ける。
• 関係式 $ c_0(\ast) = -(1/2i)\ ^{\mathcal{L}}\varepsilon $ を確立し、量子変形類が有効ラグランジュ空間の幾何的曲率によって完全に決定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接束や高次元空間に定義された計量を備えたラグランジュおよびフィンスラー重力模型に、フェドソフ変形量子化をどのように一般化できるか。
• RQ2 一般化ラグランジュ計量から誘導されるほぼケーラー模型の幾何的構造は何か。そのシンプレクティックおよびアフィン接続はどのように標準的に定義されるか。
• RQ3 有効ラグランジュ空間における標準的d接続の曲率およびねじれと、量子星積の特徴類 $ c_0(\ast) $ との関係は何か。
• RQ4 アインシュタイン重力解を接束に上昇させた場合でも、量子的および余剰次元的効果を考慮しながら、量子化手順を幾何的および量子的整合性を保ちつつ一貫して適用できるか。
• RQ5 非ホロノミックおよび高次元的模型において、非線形接続とN-適応幾何が、量子変形類を定義する上で果たす正確な役割は何か。

主な発見

• 本稿は、接束や高次元多様体上に標準的シンプレクティック構造と適合するアフィン接続を構築することにより、一般化ラグランジュ模型に対するフェドソフ型の変形量子化を確立する。
• 正規化星積の特徴類 $ c_0(\ast) $ は $ c_0(\ast) = -(1/2i)\ ^{\mathcal{L}}\varepsilon $ として導出され、量子変形が標準的d接続の曲率と結びつく。
• 特徴類 $ c_0(\ast) $ を定義する閉じた2形式 $ \ ^{\mathcal{L}}\varkappa $ は、明示的に $ -\frac{i}{8}\mathbf{J}_{\tau}^{\ \alpha'}\ ^{\mathcal{L}}\widehat{\mathbf{R}}_{\ \alpha'\alpha\beta}^{\tau}\ ^{\mathcal{L}}\mathbf{e}^{\alpha} \wedge \ ^{\mathcal{L}}\mathbf{e}^{\beta} - i\ ^{\mathcal{L}}\lambda $ として計算され、ここで $ \ ^{\mathcal{L}}\lambda = d\ ^{\mathcal{L}}\mu $ である。
• 標準的チャーン類 $ \ ^{\mathcal{L}}\varepsilon $ は、チャーン＝ヴェイル形式 $ \ ^{\mathcal{L}}\gamma = -\frac{1}{4}\mathbf{J}_{\tau}^{\ \alpha'}\ ^{\mathcal{L}}\widehat{\mathbf{R}}_{\ \alpha'\alpha\beta}^{\tau}\ ^{\mathcal{L}}\mathbf{e}^{\alpha} \wedge \ ^{\mathcal{L}}\mathbf{e}^{\beta} $ を用いて計算され、N-適応接続の曲率に依存することが示される。
• 本手法は、アインシュタイン、ラグランジュ、またはフィンスラー計量の非ホロノミックおよび自己相似変形を一貫して扱い、量子化に必要な幾何的構造を保つ。
• このフレームワークにより、量子的または余剰次元的効果によって局所ローレンツ対称性が破れる可能性がある重力模型の幾何的量子化が可能となり、標準的幾何的上昇により整合性が維持される。