[論文レビュー] Finsler-Lagrange Geometries and Standard Theories in Physics: New Methods in Einstein and String Gravity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Jul 11, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 129被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、標準的なアインシュタイン理論およびストリング理論におけるFinsler–Lagrange構造を、非ホロノミックな分布とリーマン–カルタン多様体上の適合フレームを用いて、標準的でない接束形式を用いずに幾何的枠組みとして提案する。この枠組みにより、局所的非等方性を有する正確解が得られる。主たる貢献は、非線形接続を介してリーマン計量を一般化されたLagrangeまたはFinsler構造へと変形する標準的手法の確立であり、特定の条件下ではLevi-Civita接続と等価である。

ABSTRACT

In this article, we review the current status of Finsler-Lagrange geometry and generalizations. The goal is to aid non-experts on Finsler spaces, but physicists and geometers skilled in general relativity and particle theories, to understand the crucial importance of such geometric methods for applications in modern physics. We also would like to orient mathematicians working in generalized Finsler and Kahler geometry and geometric mechanics how they could perform their results in order to be accepted by the community ''orthodox'' physicists. Although the bulk of former models of Finsler-Lagrange spaces where elaborated on tangent bundles, the surprising result advocated in our works is that such locally anisotropic structures can be modelled equivalently on Riemann-Cartan spaces, even as exact solutions in Einstein and/or string gravity, if nonholonomic distributions and moving frames of references are introduced into consideration. We also propose a canonical scheme when geometrical objects on a (pseudo) Riemannian space are nonholonomically deformed into generalized Lagrange, or Finsler, configurations on the same manifold or on a corresponding tangent bundle. Such canonical transforms are defined by the coefficients of a prime metric (it can be a solution of the Einstein equations) and generate target spaces as generalized Lagrange structures, their models of almost Hermitian/ Kahler, or nonholonomic Riemann spaces with constant curvature, for some Finsler like connections. There are formulated the criteria when such constructions can be redefined equivalently in terms of the Levi Civita connection.

研究の動機と目的

• 非ホロノミックな分布を用いて、リーマン–カルタン多様体上に局所的非等方的構造をモデル化することで、Finsler–Lagrange幾何と標準的一般相対性理論および超弦理論を統合すること。
• 接束への依存を避けるために、同一多様体上での計量適合接続を一般化されたLagrangeまたはFinsler構造へと変形する標準的スキームを提供すること。
• Finsler的幾何が、特定の曲率およびねじれの制約を満たす場合に、Levi-Civita接続と等価に再定式化可能である条件を明確にすることにより、伝統的物理学との整合性を保証すること。
• ソリトン的pp波などの正確解の構成を通じて、物理的関連性を示し、アインシュタイン理論およびストリング理論における有効なLagrange–Finsler構造の実現を示すこと。
• 幾何的構成と標準的物理的フレームワークおよび用語を一致させることで、数学者および物理学者がFinsler手法を採用するのを支援すること。

提案手法

• 非ホロノミックな多様体に非線形（N-）接続および適合d-計量を備えた構造を用い、接束ではなく基底多様体上にFinsler的構造をモデル化する。
• 非可積分フレーム法を用いてd-接続（d torsion, d curvature）を定義し、初期のリーマン計量から一般化されたLagrange–Finsler幾何を構築する。
• 与えられたアインシュタイン計量が、N-接続およびd-接続構造を介して非ホロノミックに変形されることで、Finsler–Lagrange構造に変換可能であるという標準的変形スキームを導入する。
• 共形リフトを用いて、基底多様体上のアインシュタイン構造を、幾何的整合性を保ったまま、接束上でのほぼヘルミート的またはケーラー的構造へ写像する。
• カルタン接続やチェーン接続などの区別された（d-）接続を用いて、非ホロノミック構造上での計量適合アフィン接続を定義し、特定の曲率およびねじれの条件下でLevi-Civita接続と等価であることを可能にする。
• 形式的体系を用いて、アインシュタイン理論およびストリング理論における正確解（ソリトン的pp波など）を構築し、それらを非自明な非等方性を有する有効なLagrange–Finsler空間としてモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接束形式を必要とせずに、標準的一般相対性理論におけるFinsler–Lagrange幾何を一貫してモデル化できるか？
• RQ2 非ホロノミック多様体上に存在するFinsler的構造が、リーマン空間上のLevi-Civita接続と等価となる条件は何か？
• RQ3 アインシュタイン理論およびストリング理論における正確解を、非ホロノミック変形を介して一般化されたLagrange–Finsler構造として再解釈できるか？
• RQ4 非線形接続および適合フレームは、重力理論における局所的非等方性を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 プランクスケールにおける決定論的量子モデルは、計量適合Finsler接続（非計量性および非ホロノミック制約を回避して）用いて定式化可能か？

主な発見

• Finsler–Lagrange構造は、非ホロノミックな分布と適合フレームを用いることで、リーマン–カルタン多様体上に等価にモデル化可能であり、接束構成の必要性が排除される。
• 与えられたアインシュタイン計量が、N-接続およびd-接続構造を介して一般化されたLagrangeまたはFinsler構造に変形可能である標準的変形スキームが存在し、計量適合性が保持される。
• 変形テンソルが消える、または特定の曲率およびねじれの制約を満たす場合、得られるFinsler的幾何はLevi-Civita接続と等価である。
• シュバルツシルト時空におけるソリトン的pp波のような正確解は、有効なLagrange–Finsler構造として再解釈可能であり、重力波および量子重力の文脈における物理的関連性を示唆する。
• プランクスケールにおける決定論的量子モデルは、計量適合Finsler接続（例：カルタン接続）を用いて構築可能であり、非計量性を回避し、標準的な量子化手順を可能にする。
• 形式的体系により、アインシュタイン構造を接束へ共形リフト可能であり、これによりほぼヘルミート的またはケーラー的構造が生成され、一般化されたFinsler–Lagrange力学を支持する。