[論文レビュー] Generalized Lagrangian mean curvature flows in symplectic manifolds

Knut Smoczyk, Mu‐Tao Wang|ArXiv.org|Oct 14, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、リッチ形式にアインシュタイン条件を満たす接続 $\widehat{\nabla}$ を持つ計量と複素接続を用いて、ほぼケーラー多様体における一般化されたラグランジュ平均曲率フローを導入する。このフローは $\widehat{\rho} = f\omega$ のときラグランジュ条件を保存し、余接バンドルやほぼアインシュタインケーラー多様体を含む、より広範なシンプレクティック設定への古典的フローの拡張を可能にする。

ABSTRACT

An almost Kähler structure on a symplectic manifold $(N, ω)$ consists of a Riemannian metric $g$ and an almost complex structure $J$ such that the symplectic form $ω$ satisfies $ω(\cdot, \cdot)=g(J(\cdot), \cdot)$. Any symplectic manifold admits an almost Kähler structure and we refer to $(N, ω, g, J)$ as an almost Kähler manifold. In this article, we propose a natural evolution equation to investigate the deformation of Lagrangian submanifolds in almost Kähler manifolds. A metric and complex connection $\hn$ on $TN$ defines a generalized mean curvature vector field along any Lagrangian submanifold $M$ of $N$. We study the evolution of $M$ along this vector field, which turns out to be a Lagrangian deformation, as long as the connection $\hn$ satisfies an Einstein condition. This can be viewed as a generalization of the classical Lagrangian mean curvature flow in Kähler-Einstein manifolds where the connection $\hn$ is the Levi-Civita connection of $g$. Our result applies to the important case of Lagrangian submanifolds in a cotangent bundle equipped with the canonical almost Kähler structure and to other generalization of Lagrangian mean curvature flows, such as the flow considered by Behrndt \cite{b} in Kähler manifolds that are almost Einstein.

研究の動機と目的

• 一般のほぼケーラー多様体におけるラグランジュ部分多様体の一般化された平均曲率フローを定義すること。ただし、環境空間はケーラー・アインシュタイン構造を備えていない。
• 一般のシンプレクティック多様体において古典的平均曲率フローがラグランジュ条件を保存しないという問題を、接続 $\widehat{\nabla}$ を用いた一般化された平均曲率ベクトルの導入により克服すること。
• 一般化されたフローがラグランジュ条件を保存する条件を確立し、既知の結果を非ケーラーおよび非アインシュタイン設定へ拡張すること。
• このフローが余接バンドルに標準的なほぼケーラー構造を備えた場合や、ほぼアインシュタインケーラー多様体などの重要な幾何的例に適用可能であることを示すこと。
• 古典的ラグランジュ平均曲率フローとベーハルントの修正フローを含む既存のフローを、統一的かつ一般化されたフレームワークの下に統合すること。

提案手法

• 接続 $\widehat{\nabla}$ を用いて、ほぼラグランジュ部分多様体上の一般化された平均曲率ベクトル $\vec{\widehat{H}}$ を定義する。これは、$TN$ の接続バンドル上の計量と複素接続に依存する。
• 接続 $\widehat{\nabla}$ にアインシュタイン条件を導入し、そのリッチ形式 $\widehat{\rho}$ が $\widehat{\rho} = f\omega$ を満たす滑らかな関数 $f$ を持つことを要求する。
• 初期データ $F(M,0) = M_0$ を持つフローとして、一般化された平均曲率フローを $\frac{\partial F}{\partial t} = \vec{\widehat{H}}$ の形で定義する。
• カルタンの公式と曲率恒等式を用いて、$\frac{\partial}{\partial t} F^*\omega = \Delta(F^*\omega) + \text{低次の項}$ を示し、ラグランジュ条件の保存を保証する。
• 放物型正則性および短時間存在理論を用いて、コンパクトな初期ラグランジュ部分多様体に対して滑らかな解の存在を確立する。
• 一般化された平均曲率1形式 $\widehat{H}$ の閉じ性とアインシュタイン条件を用いて、$F^*\omega$ の時間発展を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼケーラー多様体上の接続 $\widehat{\nabla}$ がどのような条件下で、一般化された平均曲率フローがラグランジュ条件を保存するか。
• RQ2 ケーラー・アインシュタイン多様体における古典的ラグランジュ平均曲率フローは、この一般化フレームワークの特殊な場合として回復可能か。
• RQ3 一般化されたフローは、標準的なほぼケーラー構造を持つ余接バンドルなどの非ケーラーなシンプレクティック多様体へ拡張可能か。
• RQ4 $\widehat{\nabla}$ のねじれが一般化された平均曲率ベクトルおよびラグランジュ条件の保存にどのように影響するか。
• RQ5 ベーハルントが研究したほぼアインシュタインケーラー多様体におけるフローは、このフレームワークに適合可能か。

主な発見

• 任意のコンパクトな初期ほぼラグランジュ部分多様体に対して、ほぼケーラー多様体上での一般化された平均曲率フローは、最大時間 $T \in (0, \infty]$ で滑らかに存在する。
• フローがラグランジュ条件を保存するのは、接続 $\widehat{\nabla}$ がアインシュタイン条件 $\widehat{\rho} = f\omega$ を満たすとき、かつそのときに限る。
• ケーラー・アインシュタイン多様体の場合、$\widehat{\nabla}$ をレヴィチビタ接続に選ぶことで、古典的ラグランジュ平均曲率フローが回復される。
• ほぼアインシュタインケーラー多様体の場合、$\widehat{\nabla} = \nabla + \sigma \otimes J$ かつ $\sigma = d^c\psi$ のとき、一般化されたフローはベーハルントの修正フローの特殊な場合を含む。
• リーマン多様体 $M$ の余接バンドル $T^*M$ において、標準接続 $\widehat{\nabla}$ は $f = 0$ の下でアインシュタインであるため、フローはラグランジュ部分多様体を保存する。
• $F^*\omega$ の時間発展は放物型不等式 $\frac{\partial}{\partial t}|F^*\omega|^2 \leq \Delta|F^*\omega|^2 + c|F^*\omega|^2$ を満たし、初期多様体 $M_0$ がラグランジュであれば、すべての時間で $F^*\omega \equiv 0$ が成り立つ。