[論文レビュー] Generalized macroscopic Schrodinger equation in scale relativity

Marie-Noëlle Célérier, Laurent Nottale|ArXiv.org|May 2, 2005

Marine and environmental studies被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、スケール相対性理論から、フラクタル次元2の微分不可能なフラクタル時空軌道をモデル化することで、一般化されたマクロなシュレーディンガー方程式を導出する。時間反転対称性の破れを通じて複素速度場を導入し、共変微分形式を適用することで、外部重力ポテンシャル下でニュートン-シュレーディンガー系に還元されるシュレーディンガー型方程式が得られる。これにより、天体物理学的系におけるマクロな量子的挙動の幾何学的記述が可能になる。

ABSTRACT

The scale transformation laws produce, on the motion equations of gravitating bodies and under some peculiar assumptions, effects which are anologous to those of a "macroscopic quantum mechanics". When we consider time and space scales such that the description of the trajectories of these bodies (planetesimals in the case of planetary system formation, interstellar gas and dust in the case of star formation, etc...) is in the shape of non-differentiable curves, we obtain fractal curves of fractal dimension 2. Continuity and non-differentiability yield a fractal space and a symmetry breaking of the differential time element which gives a doubling of the velocity fields. The application of a geodesics principle leads to motion equations of Schrodinger-type. When we add an outside gravitational field, we obtain a Schrodinger-Poisson system. We give here the derivation of the Schrodinger equation for chaotic systems, i.e., with time scales much longer than their Lyapounov chaos-time.

研究の動機と目的

• 微分不可能でフラクタルな軌道を有する系に対して、スケール相対性の原則からマクロなシュレーディンガー方程式を導出すること。
• 時空の非微分性とフラクタル幾何学が、速度場の二重化と複素ダイナミクスをもたらす仕組みを説明すること。
• フラクタルゆらぎの存在下でも標準的なライブニッツ則を保つために、複素数を用いた共変微分形式を確立すること。
• 外部重力ポテンシャルが導入された場合に、導出された方程式がニュートン-シュレーディンガー系に還元されることを示すこと。
• 惑星形成や星形成といった天体物理学的系における自己組織的構造の出現を理解するための、幾何的でスケール依存の枠組みを提供すること。

提案手法

• フラクタル次元2のフラクタル多様体として時空をモデル化し、微分不可能で無限の測地線を有する軌道を導く。
• スケール依存速度場 V[x(t,dt), t, dt] を導入し、古典的成分と発散するゆらぎ成分 w に分解する。統計的性質として <w_i> = 0 および <w_i w_j> = δ_ij (2𝒟/dt) を仮定する。
• 時間反転対称性に基づく二つの速度場 V_+ と V_- を定義し、複素速度作用素 d̸/dt = ∂/∂t + V̂·∇ を導入する。ここで V̂ = V - i𝒟∇ である。
• 対称的積または修正された複素速度を用いた共変微分を構築し、積に対する一次のライブニッツ則を回復する。
• ラグランジュ形式を適用してスケール相対性のオイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、測地線方程式およびポテンシャル Φ を持つニュートン型方程式が得られる。
• 複素波動関数 ψ = e^{i𝒮/𝒮₀} を導入し、𝒮₀ = 2m𝒟 として代入することで、一般化されたシュレーディンガー方程式 𝒟²Δψ + i𝒟 ∂ψ/∂t = (Φ/2m)ψ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非微分可能なフラクタル時空軌道が、マクロな系において量子的挙動をどのように生じさせるのか？
• RQ2 時間反転対称性が破れている非微分可能なフラクタル時空枠組みにおいて、共変微分の数学的構造は何か？
• RQ3 スケール相対性によって導入された複素速度場が、マクロな系にシュレーディンガー型方程式をどのように導くのか？
• RQ4 スケール相対性枠組みに外部重力ポテンシャルを導入した場合、シュレーディンガー方程式の形はどのように変化するか？
• RQ5 導出された方程式が、惑星形成や星形成といった天体物理学的文脈における自己組織的構造の形成をどのように記述するのか？

主な発見

• 導出された一般化されたシュレーディンガー方程式は 𝒟²Δψ + i𝒟 ∂ψ/∂t = (Φ/2m)ψ であり、外部ポテンシャル Φ が存在する場合にニュートン-シュレーディンガー系に還元される。
• フラクタル次元 D_F = 2 により、分散が 2𝒟/dt に比例する発散するゆらぎ場が得られ、速度ゆらぎの確率的性質が保証される。
• 修正された速度 V̂ = V - i𝒟∇ を用いることで、複素速度作用素 d̸/dt は積に対する標準的一次のライブニッツ則を保つ。
• 波動関数 ψ = e^{i𝒮/𝒮₀} において 𝒮₀ = 2m𝒟 とすることで、マクロな極限におけるシュレーディンガー方程式の正しい正規化と物理的スケーリングが保証される。
• 導出された方程式は、確率密度が系を構造化することを自然に記述し、惑星形成や星形成過程における自己組織的挙動を説明する。
• 理論は、フラクタル時空幾何学と非微分性に起因するマクロな系の量子的挙動を説明する幾何的でスケール依存の枠組みを提供する。