[論文レビュー] Generalized multiscale finite element methods for space-time heterogeneous parabolic equations

Eric T. Chung, Yalchin Efendiev+2 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、空間時間非一様な放物型方程式に対して、空間時間粗いメッシュを用いた一般化された多スケール有限要素法（GMsFEM）を提案する。空間時間スナップショット空間およびオフライン空間を、確率的境界条件とオーバーサンプリングを用いた局所問題によって構築し、低次元の粗い空間で高精度な解を得ることを可能にするとともに、残差情報で強化されたオンライン基底関数を用いて高速収束を実現する。

ABSTRACT

In this paper, we consider local multiscale model reduction for problems with multiple scales in space and time. We developed our approaches within the framework of the Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM) using space-time coarse cells. The main idea of GMsFEM is to construct a local snapshot space and a local spectral decomposition in the snapshot space. Previous research in developing multiscale spaces within GMsFEM focused on constructing multiscale spaces and relevant ingredients in space only. In this paper, our main objective is to develop a multiscale model reduction framework within GMsFEM that uses space-time coarse cells. We construct space-time snapshot and offline spaces. We compute these snapshot solutions by solving local problems. A complete snapshot space will use all possible boundary conditions; however, this can be very expensive. We propose using randomized boundary conditions and oversampling. We construct the local spectral decomposition based on our analysis, as presented in the paper. We present numerical results to confirm our theoretical findings and to show that using our proposed approaches, we can obtain an accurate solution with low dimensional coarse spaces. We remark that the proposed method is a significant extension compared to existing methods, which use coarse cells in space only because of (1) the parabolic nature of cell solutions, (2) extra degrees of freedom associated with space-time cells, and (3) local boundary conditions in space-time cells.

研究の動機と目的

• 空間時間非一様な放物型問題に適用可能な、体系的な多スケールモデル低減フレームワークの構築を目的とする。
• 空間のみの粗いメッシュにとどまらず、時間の要因を多スケール基底関数の構築に組み込むことで、GMsFEMを拡張することを目的とする。
• 解の放物型性、空間時間メッシュにおける自由度の増加、複雑な局所境界条件といった課題に対処することを目的とする。
• 高対比性・多スケール性を持つ放物型問題を、低次元の粗い空間を用いて高精度かつ効率的に解けるようにすることを目的とする。

提案手法

• すべての可能な境界条件を想定した空間時間粗いブロック上で局所問題を解くことにより、空間時間スナップショット空間を構築する。
• 完全なスナップショット空間の構築にかかる計算コストを低減するため、確率的境界条件とオーバーサンプリングを適用する。
• スナップショット空間に対する局所スペクトル分解を実行し、オフライン空間構築のための主要モードを抽出する。
• 残差情報で強化されたオンライン基底関数を用いて解を補正し、収束を加速する。
• 時間に依存する係数を有する空間時間変分形式を採用し、空間時間の結合ダイナミクスを捉える。
• オフラインおよびオンライン段階を統合：オフラインでは基底関数の生成、オンラインでは残差駆動補正による適応的強化を実施。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可分なスケールを有する空間時間放物型方程式に対して、GMsFEDフレームワーク内に体系的な空間時間多スケールモデル低減フレームワークを構築できるか？
• RQ2 空間時間粗いメッシュ内で、スナップショット空間およびオフライン空間を効果的に構築する方法は何か？
• RQ3 確率的境界条件とオーバーサンプリングは、空間時間GMsFEMの精度および効率にどのような影響を与えるか？
• RQ4 残差情報に基づくオンライン基底関数は、オンライン段階における収束をどのように改善するか？
• RQ5 提案手法の理論的および数値的性能は、高対比性・非一様な放物型問題に対してどのように評価できるか？

主な発見

• 提案手法は、低次元の粗い空間を用いても高精度な解を得られ、細分化シミュレーションと比較して計算コストを顕著に削減する。
• 確率的境界条件とオーバーサンプリングにより、すべての可能な境界条件を必要とせずに、スナップショット空間の効率的構築が可能になる。
• 残差情報から導出されたオンライン基底関数は、十分なオフライン基底関数と組み合わせることで収束を加速し、精度を向上させる。
• 数値結果は理論的収束率を確認するとともに、高対比性および非可分スケールを持つ問題においても頑健な性能を示す。
• 特に時間的非一様性が強く、空間時間の結合ダイナミクスが顕著な問題において、空間のみの粗いメッシュを用いる既存手法を上回る性能を発揮する。