[論文レビュー] Generalized q-Calkin-Wilf trees and c-hyper m-expansions of integers

Toufik Mansour, Mark Shattuck|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2015

semigroups and automata theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、整数の $c$-ハイパー $m$-展開に基づく一般化された $q$-Calkin-Wilf 樹を導入する。各頂点は、これらの展開を数える多項式列 $f_{m,c}(n;q)$ の連続する項の比によってラベル付けされる。主な貢献は、古典的な Calkin-Wilf 樹を一般化する $m$-分木の統一的枠組みを提供することであり、$q=1$ のとき $(0,1]$ 内のすべての有理数が少なくとも1回は出現する。また、$c=m-1$ の場合、チェビシェフ多項式と関連する。

ABSTRACT

A hyperbinary expansion of a positive integer n is a partition of n into powers of 2 in which each part appears at most twice. In this paper, we consider a generalization of this concept and a certain statistic on the corresponding set of expansions of n. We then define q-generalized m-ary trees whose vertices are labeled by ratios of two consecutive terms within the sequence of distribution polynomials for the aforementioned statistic. When m = 2, we obtain a variant of a previously considered q-Calkin-Wilf tree.

研究の動機と目的

• 整数のハイパーバイナリ展開を、重複度に制限を設けた $m$ のべきを用いた $c$-ハイパー $m$-展開へ一般化すること。
• 多項式列 $f_{m,c}(n;q)$ を定義し、$c$-ハイパー $m$-展開の分布を $q$-アナローグ統計量によって追跡すること。
• $m$-分木を構築し、その頂点ラベルを $f_{m,c}(n;q)$ 項の連続する比とする。これは $q$-Calkin-Wilf 樹を一般化する。
• $q=1$ のとき、すべての有理数 $rac{a}{b} \in (0,1]$ が少なくとも1回は木に出現することを証明すること。$m \geq 2$ および有効な $c$ に対して成り立つ。
• 木の構造と直交多項式との関係を調査し、特に $c=m-1$ の場合の第二種チェビシェフ多項式との関連を明らかにすること。

提案手法

• $c$-ハイパー $m$-展開を、$n$ を $m$ のべきの和に分割するものと定義する。各べきの項は、$m+c$ 回までしか出現しない。$0 \leq c \leq m-1$ とする。
• 多項式 $f_{m,c}(n;q)$ を再帰的に定義する：$j \neq c$ のとき $f_{m,c}(mn+j;q) = f_{m,c}(n;q)$、$f_{m,c}(mn+c;q) = f_{m,c}(n;q) + q f_{m,c}(n-1;q)$ であり、$f_{m,c}(0;q)=1$ とする。
• $q$-Calkin-Wilf 樹を、根が $\frac{1}{1}$ である $m$-分木として構築する。各ノード $\frac{a}{b}$ は、$q$ を含む有理関数によって定義される $m$ 個の子をもつ。
• $c = m-1$ のとき、木の特定の枝に沿った有理数ラベルが第二種チェビシェフ多項式で表現できることを示す。
• $a+b$ を帰納法の基準として用い、$q=1$ のとき $(0,1]$ 内のすべての有理数 $\frac{a}{b}$ が少なくとも1回は木に出現することを証明する。
• $g_{m,c}(n;q) = f_{m,c}(n;q)$ とおくと、$\ell_{m,c}(n;q) = \frac{g_{m,c}(mn+c-1;q)}{g_{m,c}(mn+c;q)}$ が木のレベルオーダー走査と一致することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーバイナリ展開を、$c$-ハイパー $m$-展開を用いて $m$-進数に一般化し、繰り返しを制御することは可能か？
• RQ2 数 $n$ の $c$-ハイパー $m$-展開の数を、高重複度部分の数に $q$-重みを割り当てた $q$-アナローグ統計量で数える多項式構造 $f_{m,c}(n;q)$ は何か？
• RQ3 $f_{m,c}(n;q)$ 項の連続する比が頂点ラベルとなるような $m$-分木は、どのように構築できるか？
• RQ4 $q=1$ のとき、$(0,1]$ 内のすべての有理数が少なくとも1回は結果の $q$-Calkin-Wilf 樹に出現する条件は何か？
• RQ5 $c=m-1$ のような特別な場合において、木の構造と古典的直交多項式（例えばチェビシェフ多項式）との間には代数的関係があるか？

主な発見

• $f_{m,c}(n;q)$ は $m$-進再帰の $q$-アナローグを提供し、$m=2$, $c=0$ の場合に $q$-Calkin-Wilf 数列を一般化する。
• $(q,c)$-Calkin-Wilf 樹は、頂点ラベルが $\frac{f_{m,c}(n-1;q)}{f_{m,c}(n;q)}$ である $m$-分木であり、$c$ に依存する再帰的な親子関係を持つ。
• $c = m-1$ のとき、木の特定の枝に沿った有理数ラベルは第二種チェビシェフ多項式で表現可能である。
• $q=1$ のとき、すべての有理数 $rac{a}{b} \in (0,1]$ が $m \geq 2$ および $0 \leq c \leq m-1$ のすべての組み合わせで少なくとも1回は木に出現する。これは $a+b$ を帰納法の基準として証明された。
• 木の構成により、$(0,\frac{1}{2}]$ 内の基本的な分数から出発し、$m$-分木の子供操作の系列によって、各有理数 $\frac{a}{b} \in (0,1]$ が生成されることを保証する。
• $\ell_{m,c}(n;q)$ は、木をレベルオーダーで読み取ったものであり、$\ell_{m,c}(n;q) = \frac{f_{m,c}(mn+c-1;q)}{f_{m,c}(mn+c;q)}$ を満たす。これにより、木の構造が多項式列と整合していることが確認された。