[論文レビュー] Generalized rainbow Tur\'an problems

Dániel Gerbner, Tamás Mészáros+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、虹色の$F$を含まない適切に辺彩色された$n$頂点グラフにおける$F$のコピーの最大数を求める一般化された虹色ツーラン問題を導入し、研究している。著者らは、パス、奇サイクル、木についてタイトな境界を確立し、多くの木では多項式的成長を示し、星や二重星といった特定の例外では線形成長を示す。これにより、辺彩色制約のもとで古典的ツーラン理論が虹色設定へと拡張される。

ABSTRACT

Alon and Shikhelman initiated the systematic study of the following generalized Tur\\'an problem: for fixed graphs $H$ and $F$ and an integer $n$, what is the maximum number of copies of $H$ in an $n$-vertex $F$-free graph? An edge-colored graph is called rainbow if all its edges have different colors. The rainbow Tur\\'an number of $F$ is defined as the maximum number of edges in a properly edge-colored graph on $n$ vertices with no rainbow copy of $F$. The study of rainbow Tur\\'an problems was initiated by Keevash, Mubayi, Sudakov and Verstra\\"ete. Motivated by the above problems, we study the following problem: What is the maximum number of copies of $F$ in a properly edge-colored graph on $n$ vertices without a rainbow copy of $F$? We establish several results, including when $F$ is a path, cycle or tree.

研究の動機と目的

• 適切に辺彩色された$n$頂点グラフに虹色の$F$を含まない場合の$F$のコピーの最大数を研究することで、古典的ツーラン理論を虹色設定へと拡張すること。
• パス、サイクル、木を含むさまざまなグラフ族について、この極値関数の漸近的オーダーの大きさを特定すること。
• 特に星型や木型のグラフに注目し、$F$の虹色自由なコピー数を制限する構造的および彩色的制約を同定すること。
• 禁止された虹色部分グラフの文脈において、グラフ構造と辺彩色の相違関係を極値組合せ論の文脈で探求すること。

提案手法

• 著者らは、虹色の$F$を含まない適切に辺彩色された$n$頂点グラフにおける$F$のコピー数の最大値を表す一般化された虹色ツーラン数$\operatorname{ex}(n,F,\textup{rainbow-}F)$を定義する。
• 上界を導出するために、次数の上限と数え上げ的議論を含む極値グラフ理論的手法を用いる。
• 星からなるグラフに対しては、高次元頂点がすべての$F$のコピーに含まれることを示し、$O(n^2)$個のコピーの上限を得る。
• 既知の虹色ツーラン数および一般化されたツーラン数の結果を用い、$F$の構造的分析と組み合わせることで、漸近的推定を得る。
• パス、奇サイクル、偶サイクル、木といった特定のグラフタイプを、場合分けの推論と極値構成を用いて分析する。
• 星や二重星を除く木に対しては、コピー数が線形より速く増加することを証明するが、$T_p$（ある頂点に$p$個の葉が付いた三角形）のような特定の構成では、線形のままに保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス$P_k$に対して、$\operatorname{ex}(n,F,\textup{rainbow-}F)$の漸近的オーダーの大きさは何か？
• RQ2 奇サイクル$C_{2k+1}$に対して、虹色の$C_{2k+1}$を含まない適切に辺彩色された$n$頂点グラフにおける$C_{2k+1}$のコピー数はどのように増加するか？
• RQ3 偶サイクル$C_{2k}$に対して、虹色-$F$-自由グラフにおける$C_6$のコピー数の最大値は何か？また、古典的ツーラン数と比較するとどうなるか？
• RQ4 どの木$T$に対して$\operatorname{ex}(n,T,\textup{rainbow-}T)$は線形に増加し、どの木に対してはそれより速く増加するか？
• RQ5 $H \neq F$のとき、$\operatorname{ex}(n,H,\textup{rainbow-}F)$は意味的に研究可能か？また、どのような構造的制約が生じるか？

主な発見

• パス$P_k$に対して、虹色-$P_k$-自由グラフにおける$P_k$のコピー数は$\Omega(n)$から$O(n)$の間で抑えられ、線形成長を示す。
• 奇サイクル$C_{2k+1}$に対して、虹色-$C_{2k+1}$-自由グラフにおける$C_{2k+1}$のコピー数は$\Theta(n^{3/2})$であり、既知の一般化されたツーラン結果と一致する。
• 偶サイクル$C_6$に対して、虹色-$C_6$-自由グラフにおける$C_6$のコピー数は$O(n^{4/3})$であり、既知の虹色ツーラン境界と整合的である。
• 星や二重星を除く木に対しては、$\operatorname{ex}(n,T,\textup{rainbow-}T)$は線形より速く増加し、虹色自由の場合と比較して極値構造が顕著に増加することが示唆される。
• $T_p$（ある頂点に$p$個の葉が付いた三角形）に対しては、$\operatorname{ex}(n,T_p,\textup{rainbow-}T_p) = O(n)$であり、構造的対称性が成長を制限することを示している。
• $k > 1$本の辺からなるマッチング$M_k$に対しては、$\operatorname{ex}(n,M_k,\textup{rainbow-}M_k) = \Theta(n^k)$であり、辺が適切に彩色されていれば虹色制約がマッチングの数を制限しないことを示している。