[論文レビュー] Generalized Schrodinger Equation and Constructions of Quantum Field Theory

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2003

advanced mathematical theories参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、高次元場理論における変分原理から導かれる一般化されたシュレーディンガー方程式を定式化し、正規順序付けを必要としない量子場理論の数学的に厳密な枠組みを提供する。本稿では、フェイニマン経路積分をこの方程式の解として新たに定義し、ハミルトニアン＝ジャコビ理論と関数微分を介して、関数的発展と経路積分による量子化の直接的な関係を確立する。

ABSTRACT

The generalized Schrodinger equation deduced in the earlier papers is compared with conventional constructions of quantum field theory. In particular, it yields the usual Schrodinger equation of quantum field theory written without normal ordering. This leads to a definition of certain mathematical version of Feynman integral.

研究の動機と目的

• 関数微分を用いた多次元変分原理から一般化されたシュレーディンガー方程式を導出すること。
• 従来の量子場理論の構成、特にトモノガ・シュヴィンガー方程式とこの方程式を比較すること。
• 一般化されたシュレーディンガー方程式における関数的発展を用いて、数学的に厳密なフェイニマン経路積分の定義をすること。
• ハミルトニアン＝ジャコビ関数の直接的量子化により、正規順序付けの必要性を排除すること。
• 標準的な量子場理論のラグランジアンに対して、一般化されたシュレーディンガー方程式の可積分性を調査すること。

提案手法

• 変分法と関数微分を用いて、作用汎関数から一般化されたハミルトニアン＝ジャコビ方程式を導出すること。
• 正準量子化手順を適用し、関数微分を運動量演算子に置き換える：$ \frac{\delta S}{\delta z^i} \to -ih \frac{\delta}{\delta z^i} $。
• 関数 $ \Psi(C) $ における線形関数微分方程式系として一般化されたシュレーディンガー方程式を定式化し、$ C $ は空間的超曲面を表す。
• 特定のパラメータ化 $ s^k = x^k $ を選ぶことで、時間 $ x^0 $ における単一の発展方程式 (14) に簡略化し、トモノガ・シュヴィンガー方程式に類似した形を得る。
• 初期関数 $ \Psi_0 $ が与えられたもとで、最終的な空間的超曲面 $ \mathcal{C}_1 $ における関数的 $ \Psi $ の値として数学的フェイニマン積分を定義する。
• 平坦な空間的超曲面に対して、標準的なシュレーディンガー方程式 (17) を導出し、正規順序付けを欠くが数学的に厳密であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたシュレーディンガー方程式は、多次元場理論における変分原理から導出可能か？
• RQ2 導出されたシュレーディンガー方程式における正規順序付けの欠如が、従来の量子場理論との整合性に与える影響は何か？
• RQ3 一般化されたシュレーディンガー方程式は可積分であるか、すなわち関数的発展が初期および最終超曲面にのみ依存するか？
• RQ4 一般化されたシュレーディンガー方程式における関数的発展を用いて、数学的に well-defined なフェイニマン経路積分を構成可能か？
• RQ5 一般化されたシュレーディンガー方程式が記述する関数的発展は、標準的なラグランジアンに対して、従来の経路積分と同一の結果をもたらすか？

主な発見

• 一般化されたシュレーディンガー方程式は、ラグランジアン密度のルジャンドル変換と関数微分から導かれ、線形関数微分方程式系として得られる。
• 方程式 (14) は、正規順序付けを含まないトモノガ・シュヴィンガー方程式に類似した形に簡略化され、標準的定式化の数学的に厳密な代替案を提供する。
• 関数 $ \Psi(C) $ は超曲面 $ C $ のパラメータ化に依存せず、関数的発展における幾何学的整合性を保証する。
• フェイニマン経路積分の新しい数学的定義を提唱する：それは初期関数 $ \Psi_0 $ が与えられたもとで、最終超曲面 $ \mathcal{C}_1 $ における関数的 $ \Psi $ の値として定義される。
• 平坦な空間的超曲面に対して、一般化されたシュレーディンガー方程式は標準的シュレーディンガー方程式 (17) に簡略化され、正規順序付けを欠くが数学的に厳密に定義される。
• 本稿では、一般化されたシュレーディンガー方程式が標準的量子場理論ラグランジアンに対して可積分であると予想しており、これは関数的発展が初期および最終超曲面にのみ依存し、変形の経路に依存しないことを示唆する。