[論文レビュー] Generalized Serre--Tate Ordinary Theory

Adrian Vasiu|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 62被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、結晶的ホッジサイクルを含む追加構造を備えたアーベル多様体に対して、セール＝タイト理論を一般化する。これは、通常のアーベル多様体の古典的変形理論を拡張し、このような対象に対する標準的リフト理論を確立し、$D_l^{\bf H}$型の一部の志村多様体の『良い』整数的モデルの構成に応用する。主な貢献は、複素乗法を有する通常のアーベル多様体とホッジサイクルの変形理論的基盤の統一的枠組みの確立である。

ABSTRACT

We study a generalization of Serre--Tate theory of ordinary abelian varieties and their deformation spaces. This generalization deals with abelian varieties equipped with additional structures. The additional structures can be not only an action of a semisimple algebra and a polarization, but more generally the data given by some ``crystalline Hodge cycles'' (a $p$-adic version of a Hodge cycle in the sense of motives). Compared to Serre--Tate ordinary theory, new phenomena appear in this generalized context. We give an application of this theory to the existence of ``good'' integral models of those Shimura varieties whose adjoints are products of simple, adjoint Shimura varieties of $D_l^{\bf H}$ type with $l\ge 4$.

研究の動機と目的

• 通常のアーベル多様体の古典的セール＝タイト理論を、単純な代数の作用、極性、結晶的ホッジサイクルなどの追加構造を含むように拡張すること。
• 特に通常の場合に、$p$-可除群および追加構造を備えたアーベル多様体の変形理論を構築すること。
• 通常の状況において、この一般化された文脈における標準的リフトの存在を確立すること。これは、通常のアーベル多様体の古典的標準的リフトの概念を一般化する。
• 付随する群が単純でアドジョイント$D_l^{\bf H}$型志村多様体の積であるような志村多様体の、『良い』整数的モデルの構成に、一般化理論を応用すること。
• 変形空間の理解のための枠組みを提供すること。その際、$F$-クリスタルとノイザー多項式理論を用いる。

提案手法

• 結晶的ホッジサイクルを追加構造として組み込み、モチーフ的理論におけるホッジサイクルの$p$-進類似物として扱うことで、古典的セール＝タイト変形理論を一般化する。
• 特に通常の場合に、$F$-クリスタルと$p$-可除群を用いて、追加構造を備えたアーベル多様体の変形函手をモデル化する。
• $p$-可除群の変形空間を介して標準的リフトの構成を確立し、古典的結果を一般化された文脈に拡張する。
• 再帰的群スキームおよび形式的リー群の理論を用いて、一般化された対象の自己同型群と変形モジュライを分析する。
• 志村多様体への一般化理論の応用において、関連する$p$-進ホッジ理論的データを分析し、標準的リフトを用いて整数的モデルを構成する。
• ノイザー多項式理論と標準的リフトの構造を用いて、変形空間を制御し、モデルの整数性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 セール＝タイト理論を、結晶的ホッジサイクル、極性、単純な代数の作用といった追加構造を備えたアーベル多様体にどのように一般化できるか。
• RQ2 特に通常の場合に、$p$-可除群および追加構造を備えたアーベル多様体の変形特性は何か。
• RQ3 この一般化された枠組みにおいて、標準的リフトは存在するのか。また、それらは変形空間および関連する$F$-クリスタルの構造とどのように関係するか。
• RQ4 一般化理論を用いて、$l \neq 3$である$D_l^{\bf H}$型志村多様体の『良い』整数的モデルを構成できるか。
• RQ5 結晶的ホッジサイクルは、ノイザー多項式および変形空間の$p$-進ホッジ理論的構造とどのように相互作用するか。

主な発見

• 一般化されたセール＝タイト理論により、結晶的ホッジサイクルを備えた通常のアーベル多様体に対して標準的リフトが確立され、古典的結果がより広い対象のクラスに拡張される。
• このようなアーベル多様体の変形空間は、対応する$F$-クリスタルによって制御され、通常の場合に標準的リフトの存在は、変形函手の自明性に同値である。
• 理論により、付随する群が単純でアドジョイント$D_l^{\bf H}$型志村多様体の積であるような志村多様体の『良い』整数的モデルを体系的に構成する方法が提供される。
• この枠組みにより、結晶的ホッジサイクルの存在が、アーベル多様体が通常である限り、標準的リフトの存在を妨げないことが示される。
• $p$-可除群の変形空間は形式的に滑らかで、プロ代表的であるため、良好な幾何的性質を有する。
• 理論により、複素乗法、標準的リフト、整数的モデルの研究が、$p$-進ホッジサイクルと$F$-クリスタルの観点から統一的に扱えるようになる。