[論文レビュー] Generalized spin representations

Guntram Hainke, Ralf Koehl+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、形式的実体上の可対称化 Kac–Moody代数の最大コンパクト部分代数 𝔨 に対する一般化されたスピン表現を導入し、Clifford代数へのLie代数準同型を通じて、非自明な有限次元再帰的（多くの場合半単純）商が存在することを証明する。主な結果は、実 $E_n$ 系列に対して、この構成が単射準同型をもたらし、その像が既知の同型型を持つコンパクト半単純Lie代数となることである。これにより、分裂実 $E_6$、$E_7$、$E_8$ の最大コンパクト部分代数の構造を容易に特定する方法が得られる。

ABSTRACT

We introduce the notion of a generalized spin representation of the maximal compact subalgebra of a symmetrizable Kac-Moody algebra in order to show that, if defined over a formally real field, every such subalgebra has a non-trivial reductive finite-dimensional quotient. The appendix illustrates how to compute the isomorphism types of these quotients for the real $E_n$ series. In passing this provides an elementary way of determining the isomorphism types of the maximal compact subalgebras of the semisimple split real Lie algebras of types $E_6$, $E_7$, $E_8$.

研究の動機と目的

• 形式的実体上の任意の可対称化 Kac–Moody代数の最大コンパクト部分代数 𝔨 に対して、非自明な有限次元表現が存在することを確立すること。
• $\mathfrak{k}(E_{10})(\mathbb{R})$ の32次元スピン表現を、すべての可対称化 Kac–Moody代数へ一般化すること。
• タイプ $E_6$、$E_7$、$E_8$ の分裂実Lie代数の最大コンパクト部分代数の同型型を、一様で初等的な方法で計算するための手法を提供すること。
• 一般化されたスピン表現および Clifford代数技術を用いて、これらの部分代数の構造を明確にすること。

提案手法

• Kac–Moody代数の Dynkin 図に従って、特定の反交換関係および平方関係を満たす線形作用素 $A_i$ をベクトル空間上に定義することにより、一般化されたスピン表現を定義する。
• 最大コンパクト部分代数 $\mathfrak{k}$ から、Clifford代数 $C(\mathbb{R}^n, q)$ のLie部分代数 $\mathfrak{m}$ へのLie代数準同型 $\rho$ を構成する。
• 標準的な正定値二次形式 $q$ を用いて、Clifford代数の構造を定義し、これによりスピン表現の関係が符号化される。
• Remark 4.5 に示された基準を適用して、生成元 $X_i$ を $C$ 内の特定の要素に割り当てることで、Lie代数準同型が定義されることを検証する。
• $E_n$ の Dynkin 図の構造を活用し、正規直交基底ベクトル $v_j$ の積として明示的な生成元 $X_i$ を定義することで、正しい反交換関係が満たされるようにする。
• 次元比較および既知のLie代数同型を用いて、像 $\mathfrak{m} = \operatorname{im}(\rho)$ が既知の型のコンパクト半単純Lie代数であると特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的実体上の可対称化 Kac–Moody代数の最大コンパクト部分代数は、非自明な有限次元商をもつのか？
• RQ2 $\mathfrak{k}(E_{10})(\mathbb{R})$ の32次元スピン表現を他の Kac–Moody代数や型へ一般化できるか？
• RQ3 タイプ $E_6$、$E_7$、$E_8$ の分裂実Lie代数の最大コンパクト部分代数の同型型は何か？
• RQ4 これらの最大コンパクト部分代数の構造を、一様的かつ初等的な方法ですべてのケースにわたって計算できるか？

主な発見

• 実 $E_n$ 系列（$n \geq 3$）に対して、一般化されたスピン表現 $\rho$ は最大コンパクト部分代数 $\mathfrak{k}$ を、Clifford代数 $C(\mathbb{R}^n, q)$ のLie部分代数 $\mathfrak{m}$ に単射で写像する。
• 像 $\mathfrak{m}$ はコンパクトかつ半単純であり、その同型型は基底となる二次形式の次元および符号型に依存する。
• $n=4$ の場合、$\dim_{\mathbb{R}}(\mathfrak{k}) = 10$ であり、$\mathfrak{m} \cong \mathfrak{sp}(2) \cong \mathfrak{so}(5)$ である。
• $n=5$ の場合、$\dim_{\mathbb{R}}(\mathfrak{k}) = 20$ であり、$\mathfrak{m} \cong \mathfrak{sp}(2) \oplus \mathfrak{sp}(2) \cong \mathfrak{so}(5) \oplus \mathfrak{so}(5)$ である。
• $n=6$ の場合、$\dim_{\mathbb{R}}(\mathfrak{k}) = 36$ であり、$\mathfrak{m} \cong \mathfrak{sp}(4)$ である。
• $n=7$ の場合、$\dim_{\mathbb{R}}(\mathfrak{k}) = 63$ であり、$\mathfrak{m} \cong \mathfrak{su}(8)$ である。
• $n=8$ の場合、$\dim_{\mathbb{R}}(\mathfrak{k}) = 120$ であり、$\mathfrak{m} \cong \mathfrak{so}(16)$ である。