[論文レビュー] Generalized Superconformal Index for Three Dimensional Field Theories

Anton Kapustin, Brian Willett|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 133

ひとこと要約

本稿では、グローバル対称性に磁場フラックスを伴う背景ゲージ場を結合させることで、3次元 $σ$-モデルに対する一般化された超共形指数を導入し、指数のレベルでグローバル対称性のゲージ化を可能にした。$σ$-QED に $N_f$ フレーバーを加えた理論とそのミラー双対理論の間で超共形指数が一致することを証明し、$S^2 \times S^1$ のコンパクト化によって、ミラー双対性のより強いテストを実現した。

ABSTRACT

We introduce a generalization of the S^2 x S^1 superconformal index where background gauge fields with magnetic flux are coupled to the global symmetries of the theory. This allows one to gauge a global symmetry at the level of the index, which we use to show the matching of the superconformal index for N=2 SQED with N_f flavors and its mirror dual.

研究の動機と目的

• $S^2 \times S^1$ 上の超共形指数を、グローバル対称性に磁場フラックスを伴う背景ゲージ場を組み込むことで拡張すること。
• インデックスのレベルでグローバル対称性のゲージ化を可能にし、双対性のより強いテストを可能にすること。
• $N_f$ フレーバーを持つ $σ$-QED とそのミラー双対理論の間で超共形指数が一致することを証明すること。
• 一般化されたインデックスが $S^3$ パーティション関数と同一の双対性構造を捉えていることを示し、コンパクト化の違いにわたる一貫性の確認を行うこと。

提案手法

• $S^1$ 上の背景ゲージ場のウィルスン線に対応する化学ポテンシアルと離散的モノポール数パラメータを導入することで、一般化された超共形インデックスを定義する。
• GNOチャージ $s_j$ とゲージ群のホロノミー $z_j = e^{ih_j}$ を用いてインデックスを書き直し、$e^{-2i\mathrm{Tr}_{CS}(hs)}$ を介してチェーン＝シモンズ項を組み込む。
• モノポールセクターごとの和とホロノミーに関する積分を用いて全インデックスを構成し、$R$-チャージとフレーバーチャージに重みを付けたベクターmultipletとキラルmultipletの寄与を含める。
• 一般化されたインデックスを用いてミラー双対性をテストし、$N_f$ フレーバーを持つ $σ$-QED のインデックスとそのミラー双対（XYZ理論）のインデックスを比較する。
• 両インデックスの $q$-展開（$q = x^2$）を実行し、$q$ の各次数ごとに項を順次比較することで、モノポール数とフレーバー量子数の異なる領域で一致を確認する。
• インデックスの一致が超共形インデックスにとどまらず、$S^3$ パーティション関数に対しても成り立つことを示し、異なるコンパクト化における一貫性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル対称性に磁場フラックスを伴う背景ゲージ場を組み込むことで、超共形インデックスを一般化し、インデックスのレベルでグローバル対称性のゲージ化を可能にすることができるか？
• RQ2 一般化されたインデックスは、$N_f$ フレーバーを持つ $σ$-QED とそのミラー双対理論の間の双対性を正しく捉えているか？
• RQ3 一般化されたインデックスは、双対性のテストにおいて $S^3$ パーティション関数とどのように比較できるか？
• RQ4 $q$-展開の各次数ごとにインデックスの一致を確認できるか、特にモノポール数とフレーバー量子数の異なる領域で成立するか？
• RQ5 一般化されたインデックスは、通常のインデックスよりも双対性のテストをより強く行えるか？

主な発見

• 一般化された超共形インデックスは、$N_f$ フレーバーを持つ $σ$-QED とそのミラー双対理論の間の双対性を正しく捉えており、$q = x^2$ の先頭項まででインデックスの一致が確認された。
• $|π| < |j|$ の場合、インデックスの先頭項は $w^{\epsilon|\ell|}a^{|j|/2}$ であり、XYZ理論の先頭寄与と一致する。
• $|π| = |j|$ の場合、インデックスには幾何級数の寄与 $\frac{w^{\epsilon|j|}a^{|j|/2}}{1 - w^{-\epsilon}a^{1/2}}$ が含まれており、XYZ理論の展開と整合的である。
• $|π| > |j|$ の場合、先頭項は $w^{\epsilon|j|}a^{|j| - |\ell|/2}q^{(|\ell| - |j|)/2}$ であり、この領域におけるXYZ理論の振る舞いと一致する。
• $|\ell| < |j|$、$|\ell| = |j|$、$|\ell| > |j|$ の3領域すべてでインデックスの一致が確認されたことから、一般化されたインデックスのレベルで双対性が成立することが裏付けられた。
• 本手法により、対応する $S^3$ パーティション関数の等価性も証明され、異なるコンパクト化における双対性の一貫性が強化された。