[論文レビュー] Generalized superelliptic Riemann surfaces

Rubén A. Hidalgo, Saúl Quispe+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、超楕円曲線の自然な拡張として、中心的で位数$n$の自己同型$τ$をもち、商$χ/\langle\tau\rangle$が genus 0 である一般化超楕円リーマン面を導入する。主な貢献は、$n$ が偶数のとき特定の家族を除き、このような曲面がレベル$n$の一意な一般化超楕円群を持つことを証明したことであり、これにより代数的モデルの構成と、これらの曲面がそのモジュライ体上定義可能であるための条件の確立が可能になった。

ABSTRACT

A closed Riemann surface $\mathcal X$, of genus $g \geq 2$, is called a generalized superelliptic curve of level $n \geq 2$ if it admits an order $n$ conformal automorphism $τ$ so that $\mathcal X/\langle τ angle$ has genus zero and $τ$ is central in ${ m Aut}(\mathcal X)$; the cyclic group $H=\langle τ angle$ is called a generalized superelliptic group of level $n$ for $\mathcal X$. These Riemann surfaces are natural generalizations of hyperelliptic Riemann surfaces (when $n=2$). We provide an algebraic curve description of these Riemann surfaces in terms of their groups of automorphisms. Also, we observe that the generalized superelliptic group $H$ of level $n$ is unique, with the exception of a very particular family of exceptional generalized superelliptic Riemann surfaces for $n$ even. In particular, the uniqueness holds if either: (i) $n$ is odd or (ii) the quotient $\mathcal X/H$ has all its cone points of order $n$ (for instance, when $\mathcal X$ is a superelliptic curve of level $n$). In the non-exceptional case, we use this uniqueness property of its generalized superelliptic group $H$ to observe that the corresponding curves are definable over their fields of moduli if ${ m Aut}(\mathcal X)/H$ is neither trivial or cyclic.

研究の動機と目的

• 商オビフォールドの非一様な円錐点の順序を含むように超楕円曲線の概念を一般化すること。
• 自己同型群と代数的曲線モデルを用いた一般化超楕円リーマン面の特徴付け。
• このような曲面がそのモジュライ体上定義可能であるための条件の確立。
• レベル$n$の一般化超楕円群の一意性を解明し、$n$ が偶数のときの例外的ケースを同定すること。

提案手法

• Singermanの有限最大シグネチャーリストを用いて、商$χ/\langle\tau\rangle$の可能なオビフォールド構造を分類する。
• 群論的技法を用いて、${\rm Aut}(\mathcal{X})$における自己同型$τ$の中心性と、代数的モデルにおける指数$l_j$に与える影響を分析する。
• 相異なる$a_j$と$\gcd(n, l_1, \dots, l_r) = 1$を満たす形の代数的曲線$y^n = \prod_{j=1}^r (x - a_j)^{l_j}$を構成し、曲面を表現する。
• $\overline{G} = {\rm Aut}(\mathcal{X})/H$を用いて自己同型構造を分類し、曲線の同型類を特定する。
• フクシアン群と三角形群からの準同型を用いて、上半平面の商として基底となるリーマン面を構成する。
• メビウス変換、置換、および$n$を法とする単元による乗算を用いて、同型な曲線モデルを分類するための同型条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化超楕円リーマン曲面$\mathcal{X}$の自己同型群において、レベル$n$の一般化超楕円群がいつ一意的か。
• RQ2 一般化超楕円リーマン曲面がそのモジュライ体上定義可能となる条件は何か。
• RQ3 特に、$\overline{G} = {\rm Aut}(\mathcal{X})/H$が非巡回かつ非自明である場合に、一般化超楕円曲面の自己同型群の構造はいかなるものか。
• RQ4 商$\mathcal{X}/H$における円錐点の順序は、曲面の一意性およびモジュライ体の性質にどのように影響するか。
• RQ5 低 genusにおける一般化超楕円曲線の完全な分類は何か。また、それらは代数的モデルとどのように関係するか。

主な発見

• レベル$n$の一般化超楕円群は、$n$ が偶数でかつ$\mathcal{X}$が特定の例外的家族に属する場合を除き、$\mathcal{X}$において一意的である。
• 非例外的一般化超楕円曲面では、群$H$の一意性により、メビウス変換と指数への単元による乗算を用いて同型類を構成できる。
• 一般化超楕円曲面は、$\overline{G} = {\rm Aut}(\mathcal{X})/H$が自明でも巡回群でもない場合、そのモジュライ体上定義可能である。
• $\overline{G}$が自明または巡回群である場合でも、商$\mathcal{X}/G$が奇数のシグネチャをもつならば、曲面は依然としてそのモジュライ体上定義可能である。
• モジュライ体上での定義可能性に失敗する唯一のケースは、非例外的で一般化超楕円曲線であり、$\overline{G}$が自明または巡回群で、$\mathcal{X}/G$が偶数のシグネチャをもつ場合である。
• 本稿では、Harveyの条件と三角形群からの群の準同型を用いて、$g \geq 2$ のすべての一般化超楕円曲線のアルゴリズム的構成を提供している。