[論文レビュー] Generalized Traveling Salesman Problem Reduction Algorithms

Gregory Gutin, Daniel Karapetyan|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2008

Vehicle Routing Optimization MethodsEngineering参考文献 17被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、最適解を変更せずに不要な頂点と辺を削除する多項式時間の前処理アルゴリズムを提示する。この手法は距離比較を用い、差分テーブルを用いて最適巡回路に含まれえない可能性のある頂点を同定する。複数のソルバーにおいて、平均で15–20%の問題サイズ削減と最大60%の高速化を達成した。

ABSTRACT

The generalized traveling salesman problem (GTSP) is an extension of the well-known traveling salesman problem. In GTSP, we are given a partition of cities into groups and we are required to find a minimum length tour that includes exactly one city from each group. The aim of this paper is to present a problem reduction algorithm that deletes redundant vertices and edges, preserving the optimal solution. The algorithm's running time is O(N^3) in the worst case, but it is significantly faster in practice. The algorithm has reduced the problem size by 15-20% on average in our experiments and this has decreased the solution time by 10-60% for each of the considered solvers.

研究の動機と目的

• 最適解に含まれないことが保証される頂点および辺を同定し、それらを削除することでGTSPインスタンスのサイズを縮小すること。
• 最適性を保持しつつ、GTSPソルバーの計算コストを顕著に低減する前処理技術を開発すること。
• 実用的で効率的かつ低オーバーヘッドのアルゴリズムを設計し、実世界のGTSPインスタンスにおいて既存手法を上回ること。
• 複数のGTSPソルバーを用いて、頂点削減、辺削減、およびそれらの組合せの有効性を評価すること。

提案手法

• 頂点削減のため、クラスタCに属する頂点rが、他のクラスタの任意の頂点対x, yについて、C ∖ {r}に属する別の頂点sが存在し、dist(x,s) + dist(s,y) ≤ dist(x,r) + dist(r,y) を満たす場合、rは冗長とみなされる。
• すべてのx ∉ Cおよびs ∈ C ∖ {r}についてΔₓʳ ⁻ ˢ = dist(x,r) − dist(x,s) を格納する差分テーブルを構築し、冗長性の効率的チェックを可能にする。
• すべての異なるクラスタに属するペア(x,y)についてΔₓʳ ⁻ ˢ + Δᵧʳ ⁻ ˢ ≥ 0 が成り立つかどうかを確認することで冗長性を検証する。すべての和が負であれば、rは冗長ではない。
• 繰り返し、サイクリック順序で頂点削減を適用し、これ以上削減できない状態になるまで繰り返すことで、検出可能なすべての冗長頂点を削除する。
• 辺削減では、クラスタ間の妥当な経路に含まれない場合、距離比較およびクラスタの接続性に基づいて辺を削除する。
• 組合せ削減手法では、頂点削減と辺削減を逐次適用し、無限大の辺重みを扱うためにソルバー互換性を調整する形で辺削減ステップを変更する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解の品質を損なわせることなく、距離比較を用いてGTSPにおける冗長な頂点を効率的に同定できるか？
• RQ2 提案された頂点削減アルゴリズムは、多様なソルバーにおいてGTSPインスタンスのサイズと解決時間をどの程度削減できるか？
• RQ3 辺重みを無限大に設定する辺削減は、ソルバーの性能向上に寄与するか？また、異なるソルバーとどのように相互作用するか？
• RQ4 頂点削減または辺削減の個別手法よりも、組合せ削減戦略が問題サイズの縮小および解決時間の短縮において優れているか？

主な発見

• 提案された前処理アルゴリズムは、テストされたインスタンス全体で平均15–20%のGTSP問題サイズ削減を達成し、解決時間を顕著に短縮した。
• 評価された5つのGTSPソルバーすべてにおいて、解決時間が10–60%短縮された。特に、正確なソルバーやヒューリスティックソルバーで顕著な向上が見られた。
• 頂点および辺の組合せ削減手法は、個別削減を常に上回り、GKKやSDのようなソルバーでは辺削減の恩恵をより大きく受けた。
• すべてのソルバーにおいて、前処理時間は解決時間よりも常に低く抑えられ、大規模インスタンスに対しても実用的な効率性を示した。
• SDソルバーの実験的計算量はΘ(N³)と推定され、N = 265の場合でさえ、前処理のオーバーヘッドは解決時間に比べて無視できるほど小さかった。
• GKヒューリスティックにおける修正版ローカルサーチ手順と前処理を組み合わせることで、わずかに解の品質が向上し、実行時間のわずかな増加を伴った。これは、削減手法と相乗効果を示している。