[論文レビュー] Generating All Minimal Edge Dominating Sets with Incremental-Polynomial Delay

Petr A. Golovach, Pinar Heggernes+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般および二部グラフにおけるすべての最小辺支配集合を列挙する最初の増分多項式遅延アルゴリズムを提示する。線グラフにおける最小支配集合を生成するために、新規なフリッピング手法を用いる。この手法により、二部グラフでは$O(m^4| cal{L}|)$の遅延、一般グラフでは$O(m^5| cal{L}|)$の遅延を達成し、出力多項式時間の総実行時間を得る。これは、これらのクラスにおける出力感受性列挙の長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

For an arbitrary undirected simple graph G with m edges, we give an algorithm with running time O(m^4 |L|^2) to generate the set L of all minimal edge dominating sets of G. For bipartite graphs we obtain a better result; we show that their minimal edge dominating sets can be enumerated in time O(m^4 |L|). In fact our results are stronger; both algorithms generate the next minimal edge dominating set with incremental-polynomial delay O(m^5 |L|) and O(m^4 |L|) respectively, when L is the set of already generated minimal edge dominating sets. Our algorithms are tailored for and solve the equivalent problems of enumerating minimal (vertex) dominating sets of line graphs and line graphs of bipartite graphs, with incremental-polynomial delay, and consequently in output-polynomial time. Enumeration of minimal dominating sets in graphs has very recently been shown to be equivalent to enumeration of minimal transversals in hypergraphs. The question whether the minimal transversals of a hypergraph can be enumerated in output-polynomial time is a fundamental and challenging question in Output-Sensitive Enumeration; it has been open for several decades and has triggered extensive research in the field.

研究の動機と目的

• 無向グラフにおけるすべての最小辺支配集合を効率的に列挙するアルゴリズムの開発。
• 最小トランスバーサルがハイパーグラフで出力多項式時間に列挙可能かどうかという根本的な未解決問題に、グラフにおける最小支配集合と等価であることを活用して取り組む。
• 増分多項式遅延で、線グラフにおけるすべての最小支配集合を体系的に生成するフリッピングに基づく手法の設計。
• フリッピング手法をゴーリングが7以上のグラフに拡張し、そのより広範な適用可能性を示す。
• 二部グラフおよび関連するグラフクラスにおける最小辺支配集合の出力多項式時間複雑性の達成。

提案手法

• 最小支配集合$D^*$における孤立頂点を、$D^*$の外部にある隣接頂点に置き換えるフリッピング操作を導入し、集合を更新して新しい最小支配集合を生成する。
• 各最小支配集合が一意の親を持つという、列挙木における親子関係を用いて、体系的な生成をガイドする。
• 各最小支配集合$D^*$について、孤立頂点とその外部の隣接頂点を含むすべての有効な頂点置換を探索することで、子を生成する。
• 新しい頂点の近傍を$Z_i$に分割する構造化された生成プロセスを適用し、重複を避け、ケース解析により正しさを保証する。
• 元のグラフにおける最小辺支配集合とその線グラフにおける最小支配集合との等価性を活用して、問題を支配集合列挙に還元する。
• フリッピング手法が、生成された各集合に対して多項式遅延で、すべての最小支配集合を正確に一度だけ生成することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二部グラフにおける最小辺支配集合は、増分多項式遅延で列挙可能か？
• RQ2 フリッピング手法は、線グラフや二部グラフを越えて、他のグラフクラスに対しても一般化可能か？
• RQ3 フリッピングベースの列挙木における一意の親性質は、より広いグラフクラスにおいて出力多項式時間アルゴリズムの実現を可能にするか？
• RQ4 ゴーリングが7以上のグラフにおける最小支配集合列挙問題は、増分多項式遅延で解けるか？
• RQ5 線グラフまたは関連クラスにおける最小支配集合列挙に対して、多項式遅延（増分多項式遅延ではない）を達成することは可能か？

主な発見

• 本稿では、一般グラフにおけるすべての最小辺支配集合を列挙する増分多項式遅延アルゴリズムを提示する。遅延は$m$を辺数、$| cal{L}|$をすでに生成された集合の数として$O(m^5| cal{L}|)$である。
• 二部グラフでは、遅延が$O(m^4| cal{L}|)$に改善され、$| cal{L}^*|$を最小辺支配集合の総数として、出力多項式時間の総実行時間$O(m^4| cal{L}^*|)$が達成される。
• フリッピング手法は、二部グラフの線グラフにおけるすべての最小支配集合を、増分多項式遅延$O(n^2m| cal{L}|)$で正確に生成する。ここで$n$は頂点数である。
• この手法はゴーリングが7以上のグラフにまで拡張可能であり、最小支配集合列挙に対して$O(n^2m| cal{L}|^2)$の増分多項式遅延を達成する。
• フリッピングに基づく生成の正しさは、近傍の分割に関するケース解析により証明され、各最小支配集合が正確に一度だけ生成されることを保証する。
• これらの結果から、線グラフおよび二部線グラフから得られるハイパーグラフにおける最小トランスバーサルは、出力多項式時間に列挙可能であることが示され、長年の未解決問題の特殊ケースが解決される。