[論文レビュー] Generating functions for descents over permutations which avoid sets of consecutive patterns

Quang T. Bach, Jeffrey B. Remmel|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、JonesとRemmelの双対性手法を拡張し、1で始まり、高々1つの降下をもつ連続パターンの集合を避ける置換の指数型母関数を計算する。置換における降下数と左から最小値の数の母関数は、$(1/U_\Gamma(t,y))^x$ の形を取り、$U_\Gamma(t,y)$ は特定のパターン集合に対して明示的な再帰関係を満たす。これには $\{1324,1423\}$、$\{1324\cdots p,12\cdots(p-1)\}$（$p \geq 5$）、および特定の二部分割置換が含まれる。

ABSTRACT

We extend the reciprocity method of Jones and Remmel to study generating functions of the form $$\\sum_{n \\geq 0} \\frac{t^n}{n!} \\sum_{\\sigma \\in \\mathcal{NM}_n(\\Gamma)}x^{\\mathrm{LRmin}(\\sigma)}y^{1+\\mathrm{des}(\\sigma)}$$ where $\\Gamma$ is a set of permutations which start with 1 and have at most one descent, $\\mathcal{NM}_n(\\Gamma)$ is the set of permutations $\\sigma$ in the symmetric group $\\mathfrak{S}_n$ which have no $\\Gamma$-matches, $\\mathrm{des}(\\sigma)$ is the number of descents of $\\sigma$ and $\\mathrm{LRmin}(\\sigma)$ is the number of left-to-right minima of $\\sigma$. We show that this generating function is of the form $\\left( \\frac{1}{U_{\\Gamma}(t,y)}\ ight)^x$ where $U_{\\Gamma}(t,y) = \\sum_{n\\geq 0}U_{\\Gamma,n}(y) \\frac{t^n}{n!}$ and the coefficients $U_{\\Gamma,n}(y)$ satisfy some simple recursions in the case where $\\Gamma$ equals $\\{1324,123\\}$, $\\{1324 \\cdots p,12 \\cdots (p-1)\\}$ for $p \\geq 5$, or $\\Gamma$ is the set of permutations $\\sigma = \\sigma_1 \\cdots \\sigma_n$ of length $n=k_1+k_2$ where $k_1,k_2 \\geq 2$, $\\sigma_1 =1$, $\\sigma_{k_1+1}=2$, and $\\mathrm{des}(\\sigma) =1$.

研究の動機と目的

• JonesとRemmelの双対性手法を、連続パターンの集合を避ける置換の母関数を研究するように一般化すること。
• パターン $\Gamma$ が1で始まり高々1つの降下をもつとき、$\sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} \sum_{\sigma \in \mathcal{NM}_n(\Gamma)} x^{\mathrm{LRmin}(\sigma)} y^{1+\mathrm{des}(\sigma)}$ の母関数を分析すること。
• 指数型母関数 $U_\Gamma(t,y)$ の係数 $U_{\Gamma,n}(y)$ に対する明示的な再帰関係を導出すること。
• $U_{\Gamma,n}(y)$ の対数的凸性を調査し、パターンに1つより多くの降下がある場合、対合法の限界を検討すること。

提案手法

• 双対性手法を用いて、母関数を $\left(\frac{1}{U_\Gamma(t,y)}\right)^x$ の形に表現する。ここで $U_\Gamma(t,y) = \sum_{n \geq 0} U_{\Gamma,n}(y) \frac{t^n}{n!}$ である。
• 対称関数環 $\Lambda$ 上の環準同型 $\theta$ を定義し、$\theta(e_n) = \frac{(-1)^n}{n!} \mathrm{NM}_{\Gamma,n}(1,y)$ とすることで、$U_\Gamma(t,y)$ を対称関数の恒等式に関連付ける。
• 恒等式 $U_\Gamma(t,y) = \theta(H(t))$ を用い、ここで $H(t)$ は完全対称関数の母関数である。これにより $n! \theta(h_n) = U_{\Gamma,n}(y)$ を得る。
• 組合せ論的に $n! \theta(h_n)$ を、重み付きの埋め込みラベル付きブリックタブロイドの符号付き和として解釈し、再帰関係を導出する。
• 固定点解析を可能にするために、$y$ が付いたセルを含む分割を防ぐように対合写像を制限する。これにより、特定のパターン族に対して固定点を解析できる。
• 制限された対合写像の固定点を分析し、$\Gamma$ に1つより多くの降下をもつ置換が含まれる場合の $U_{\Gamma,n}(y)$ の再帰関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続パターン $\Gamma$ が1で始まり高々1つの降下をもつとき、母関数 $\mathrm{NM}_\Gamma(t,x,y)$ が $U_\Gamma(t,y)$ の形で閉形式で表されるのはどのような $\Gamma$ の集合か？
• RQ2 双対性手法は、1つより多くの降下をもつパターン族 $\Gamma$ に拡張可能か？ もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ3 特定の族、例えば $\{1324,1423\}$、$\{1324\cdots p,12\cdots(p-1)\}$、$k_1,k_2 \geq 2$ である二部分割置換に対して、$U_{\Gamma,n}(y)$ の係数を支配する再帰関係は何か？
• RQ4 $U_{\Gamma,n}(y)$ の多項式が特定の族 $\Gamma$ に対して対数的凸性をもつのか。また、その性質が破れる条件は何か？
• RQ5 $\Gamma$ に複数の降下をもつ置換が含まれる場合、$U_{\Gamma,n}(y)$ の係数はどのように振る舞い、対合に基づくアプローチにはどのような修正が必要か？

主な発見

• パターン集合 $\Gamma = \{1324,1423\}$ の場合、母関数は $\left(\frac{1}{U_\Gamma(t,y)}\right)^x$ であり、$U_{\Gamma,n}(y)$ は $y$ と二項係数に依存する係数をもつ $U_{\Gamma,n-1}(y)$ と $U_{\Gamma,n-3}(y)$ の再帰関係を満たす。
• パターン集合 $\Gamma = \{1324\cdots p,12\cdots(p-1)\}$（$p \geq 5$）の場合、係数 $U_{\Gamma,n}(y)$ は $n \geq 2$ に対して $U_{\Gamma,n}(y) = (1-y)U_{\Gamma,n-1}(y) - y^2 \binom{n-2}{2} U_{\Gamma,n-3}(y)$ の形の再帰関係を満たし、$U_{\Gamma,1}(y) = -y$ である。
• パターン集合 $\Gamma = \{14253,15243\}$ の場合、再帰関係は $n \geq 2$ に対して $U_{\Gamma,n}(y) = (1-y)U_{\Gamma,n-1}(y) - y^2(n-3)(U_{\Gamma,n-4}(y) + (1-y)(n-5)U_{\Gamma,n-5}(y)) - y^3(n-3)(n-5)(n-6)U_{\Gamma,n-6}(y)$ であり、$U_{\Gamma,1}(y) = -y$ である。
• パターン $\tau = 142536$ の場合、再帰関係は $k$ に関する和を含み、カタラン行列式 $H_{2k}$ と $H_{2k-1}$ を係数にもち、$y^{3k}$ と $y^{3k-1}$ の項を含む。これは複雑なパターン相互作用を反映している。
• パターン $\tau = 162534$ の場合、再帰関係には二項係数 $\binom{n-3k-1}{3k-1}$ と $\binom{n-3k-2}{3k}$ が含まれており、位置とパターン構造に依存する。
• 著者らは、$\Gamma = \{1324,1423\}$ および $\Gamma = \{1324\cdots p,12\cdots p\}$（$p \geq 4$）の場合、$U_{\Gamma,n}(y)$ が対数的凸性をもつと予想しているが、$k_1 > k_2$ のとき $U_{\Gamma_{k_1,k_2},n}(-y)$ は常に対数的凸性をもたない。