[論文レビュー] Pattern Matching in the Cycle Structure of Permutations

Miles Eli Jones, Jeffrey B. Remmel|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、与えられた置換の集合からのパターンが、置換のサイクル構造に含まれるかどうかを定義するサイクルパターンマッチングを導入する。置換がサイクルパターンを回避するための指数型母関数を構築し、再帰的公式および対称関数の技法を用いてそれらを計算する。具体的には1324や1423といったパターンに対して明示的な結果を提示する。

ABSTRACT

In this paper, we study the occurrence of patterns in the cycle structures of permutations.

研究の動機と目的

• 置換のサイクル分解におけるパターンマッチングの概念を形式化し、古典的な置換パターン理論をサイクル分解へと拡張する。
• パターンがサイクルの巡回部分列に相対的順序として現れる場合に、そのサイクルにパターンが含まれるとみなすサイクル回避およびサイクルマッチング統計を定義する。
• 指定されたサイクルパターンを回避またはマッチングする置換の数に対する生成関数、特に指数型母関数を構築する。
• 特定のパターン集合に対して、再帰的および代数的技法（対称関数の環準同型を含む）を用いてこれらの生成関数を計算する。
• 1324および1423といった具体的な例にこの手法を適用し、双対写像および環準同型を用いてより複雑なパターン集合への拡張を示す。

提案手法

• 置換のサイクル分解におけるサイクルτマッチを、サイクルの巡回部分列にパターンτが現れる場合に定義する。インデックスはサイクル長さを法として取る。
• 指数型母関数 $ NCM_\tau(t,x,y) = \sum_{n \geq 0} ncmS_{n,\tau}(x,y) \frac{t^n}{n!} $ を導入する。ここで $ ncmS_{n,\tau}(x,y) $ は、サイズ $ n $ の置換でサイクルτマッチを一切含まないものの数を表す。
• 恒等式 $ NCM_\tau(t,x,y) = \frac{1}{(U_\tau(t,y))^x} $ を用い、$ U_\tau(t,y) = \frac{1}{NCM_\tau(t,1,y)} $ により、生成関数をより単純な補助関数と関連付ける。
• 対称関数からの準同型法を適用する：$ \Lambda $ 上の環準同型 $ \theta $ を定義し、$ \theta(e_n) = \frac{(-1)^n}{n!} ncmS_{n,\tau}(1,y) $ とすることで、生成関数と対称関数の恒等式を結びつける。
• カタラン数を用いて、$ U_{n,\tau}(y) $ の再帰的関係を導出する。例えば $ U_{n,1324}(y) = (1-y)U_{n-1,1324}(y) + \sum_{k=2}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-y)^{k-1} C_{k-1} U_{n-2k+1,1324}(y) $ が得られる。
• 別の方法として、完全置換（derangements）からレンガテーブルの埋め方への双対写像を用い、対称関数の恒等式と $ e^t $ の乗算を組み合わせることで、複雑なパターン集合に対する $ NCM_\Upsilon(t) $ の計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な置換パターンマッチングは、どのように置換のサイクル構造へと拡張できるか？
• RQ2 サイクルパターンを回避する置換の生成関数の構造は何か？ そして、それらはどのように効率的に計算できるか？
• RQ3 1324 や 1423 のような特定のパターンに対して、サイクルマッチを一切含まない置換の数について、再帰的公式を導出できるか？
• RQ4 対称関数の恒等式および準同型は、サイクルパターン回避の生成関数の計算をどのように支援するか？
• RQ5 完全置換とレンガテーブルの埋め方との間の双対写像は、複雑なサイクルパターン集合の生成関数の計算に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、$ n = 0 $ から $ 8 $ までについて、$ \tau = 1324 $ の場合の明示的生成関数 $ S^{ncm}_{n,\tau}(x,y) $ を提示し、サイズ $ n $ の置換でサイクル $ \tau $-マッチを含まないものの数を、$ x $ と $ y $ の係数として追跡する。
• パターン $ \tau = 1324 $ の場合、再帰的関係 $ U_{n,1324}(y) = (1-y)U_{n-1,1324}(y) + \sum_{k=2}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-y)^{k-1} C_{k-1} U_{n-2k+1,1324}(y) $ が導出され、ここで $ C_k $ は $ k $ 番目のカタラン数である。
• パターン $ \tau = 1423 $ の場合、再帰的関係 $ U_{n,1423}(y) = (1-y)U_{n-1,1423}(y) + \sum_{k=2}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-y)^{k-1} \binom{n-k-1}{k-1} U_{n-2k+1,1423}(y) $ が確立された。
• パターン集合 $ \Upsilon $（1234 とすべての 5 要素置換で、$ \sigma_1 < \sigma_2 > \sigma_3 < \sigma_4 > \sigma_5 $ の交互な上下パターンを持つもの）に対して、双対写像に基づく方法により、生成関数 $ NCM_\Upsilon(t) = \frac{e^t}{1 - \sum_{n \geq 3} \frac{2(-t)^n}{n!}} $ が計算された。
• 準同型法により生成関数と対称関数が結びつけられ、$ H(t) = 1/E(-t) $ のような恒等式を用いて新たな再帰的関係を導出し、代数的変形により係数を計算可能となった。
• 第3の方法、すなわち完全置換とレンガテーブルの埋め方との間の双対写像を用いる方法により、第1および第2のアプローチでは取り扱いが困難なパターン集合に対しても $ NCM_\Upsilon(t) $ の計算が可能となり、より広範な適用可能性が示された。