[論文レビュー] Generators and representability of functors in commutative and noncommutative geometry

Alexey Bondal, Michel Van den Bergh|ArXiv.org|Apr 17, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 75

ひとこと要約

この論文は、可換および非可換代数幾何における三角関手カテゴリが飽和している—つまり、すべての有限型のコhomological関手が表現可能である—ための十分条件を確立する。その根拠として、Ext-有限かつカルービアンな三角関手カテゴリに強い生成子が存在するならば、飽和が成立することを証明する。主な結果は、滑らかでコンパクトな多様体（可換または非可換）上の有界なコherent層の導来カテゴリが、強い生成子の存在により飽和していることである。

ABSTRACT

We give a sufficient condition for an Ext-finite triangulated category to be saturated. Saturatedness means that every contravariant cohomological functor of finite type to vector spaces is representable. The condition consists in existence of a strong generator. We prove that the bounded derived categories of coherent sheaves on smooth proper commutative and noncommutative varieties have strong generators, hence saturated. In contrast the similar category for a smooth compact analytic surface with no curves is not saturated.

研究の動機と目的

• 代数幾何に現れる三角関手カテゴリにおける飽和の内在的基準を提供すること。
• 導来カテゴリにおける有限型コhomological関手の表現可能性を扱うこと。
• 滑らかでコンパクトな多様体（可換および非可換）の導来カテゴリが強い生成子を用いて飽和していることを証明すること。
• 階数付き環とqgrカテゴリを用いて、表現可能性の定理1.1を非可換設定に一般化すること。

提案手法

• 三角関手カテゴリにおける強い生成子の概念を導入する。これは、有限回の反復的拡張および直和成分をとることで、カテゴリ全体を生成する対象として定義される。
• ホモトピー極限が存在しない状況において、部分カテゴリに関するn-分解を用いてコhomological関手を近似する。
• ブラウン表現可能性の技法を適応し、無限和が存在しない状況でも、強い生成子による有限近似を用いて修正する。
• 滑らかなスキームにおける古典的生成子が、同時に強い生成子であることを証明し、幾何的滑らかさと有限生成性を結びつける。
• この基準を適用して、滑らかでコンパクトな多様体上のコherent層の導来カテゴリが飽和していることを示す。
• ケラーの結果およびDG/A∞-幾何の結果を用いて、準コンパクトかつ準分離なスキームが、導来的意味でアフィンであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で三角関手カテゴリが飽和している、すなわちすべての有限型コhomological関手が表現可能であるか？
• RQ2 Ext-有限かつカルービアンな三角関手カテゴリに強い生成子が存在するならば、飽和が成立するか？
• RQ3 滑らかな射影的多様体上のコherent層の表現可能性結果を非可換設定に拡張できるか？
• RQ4 非可換幾何における滑らかでコンパクトなスキームの導来カテゴリも、飽和しているか？
• RQ5 滑らかなスキームにおける古典的生成子と強い生成子の関係は何か？

主な発見

• Ext-有限かつカルービアンであり、強い生成子をもつ三角関手カテゴリは飽和している。
• 任意の滑らかでコンパクトな多様体（可換または非可換）の有界なコherent層の導来カテゴリは、強い生成子をもち、したがって飽和している。
• 任意の準コンパクトかつ準分離なスキームは古典的生成子をもち、滑らかな場合、その生成子は同時に強い生成子である。
• 体上の可能に特異な射影的多様体上の完全複体の導来カテゴリには、有限型コhomological関手がすべて表現可能である。
• 曲線を持たない滑らかなコンパクトな解析的表面の例が存在し、その導来カテゴリは飽和していない。これは幾何的条件の必要性を示している。
• 階数付きコherent環Rに対して、Rが適切な有限性および生成条件を満たすとき、qgr(R)のカテゴリは飽和していることが示された。